第三章平稳时间序列分析.

第三章平稳时间序列分析本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测3.1方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测差分运算一阶差分阶差分步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx例如：原数列12510172637一阶差分1357911二阶差分22222方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有1,pxBxtppt方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测延迟算子的性质，其中10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0)1()1()!(!!ininCin方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测用延迟算子表示差分例如，三阶差分3221112121122312301233313233()()=(2)=2()()=33=CCCCttttttttttttttttttttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx333300(1)(1)iiiiititiiCxCBx3(1)tBx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测用延迟算子表示差分运算阶差分步差分pkitpiipptptpxCxBx0)1()1(tkkttkxBxx)1(方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测线性差分方程线性差分方程齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合02211ppppaaap,,,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(02211ptptttzazazaz1234,,,,,iipaibreaibre为互不相等的实根方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzztz)(2211thzazazazptpttttz方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测3.2ARMA模型的性质AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令p101ttxy}{ty}{tx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(1122----=tttptptxxxx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxxttttxxx115.0)4(方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别方法特征根判别法平稳域判别法方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测1122121212()0,----=0----=0ttttptppppppBxxxxx即的特征方程为特征根为，，11221212121212122----=0----=0===,,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdrerempdm设齐次线性差分方程的特征方程有p个特征根，，其中为个相等实根为对共轭复根为个互不相等的实根11221212121212122----=0----=0===,,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdrerempdm设齐次线性差分方程的特征方程有p个特征根，，其中为个相等实根为对共轭复根为个互不相等的实根11222'1112111----=0++()jjtjtttptppmdmitwitwjtttjjjjjjjdjxxxxxctcrcece那么齐次线性差分方程的通解为12()()0(B)0111(B)0tpARpBx可以证明，模型的自回归系数多项式的根是齐次差分方程的特征根的倒数，即，，是的根2121221212()11111()11=()0pppppppppBBBB而自回归系数多项式那么11221212()0,----=0----=0ttttptpppppBxxxxx事实上，即的特征方程为1122----=()=tttptptttxxxxBxx设非齐次线性差分方程的一个特解为1()()=(1)piiBBB根据以上性质可以因子分解成111()=(1)===()(1)(1)ptittipttittpiiiiBxBxkxBBB即，那么1122'211121111----=++()(1)jjjtttptpttttpmpdmitwitwjtttijjjjjtjjdjiixxxxxxxkctcrceceB那么齐次线性差分方程的通解为1212(),,,,(1,2,,),lim0,||1,1,2,,2||1,1,2,,()pmjjttiiARpccccjmxipmrimARpp要使得模型平稳，即对任意的实数有该式成立的条件是即要求模型的个特征根都在单位圆内。方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据的自回归特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型系数多项式φ(B)=0的根都在单位圆外平稳域判别平稳域},,,{21单位根都在单位圆内p方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测11平稳域〈1特征根111AR(1),-=0tttxx模型特征方程为平稳域21121211224242特征根}11,{12221，且1122212AR(2)+,--=0ttttxxx模型特征方程为1211平稳性条件方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.1平稳性判别8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,}{t方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测21211221212()1----=(B)0,,,()()0111,(B)0pptttptpttppBBBBxxxxxARpB齐次差分方程即的特征根是模型的自回归系数多项式的根的倒数，即，，是的根方差：借助格林函数计算1122----=()=tttptpttxxxxBx非齐次线性差分方程1()()=(1)piiBBB根据以上性质可以因子分解成111()=(1)===()(1)(1)ptittipttittpiiiiBxBxkxBBB即，那么方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测Green函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数01{1,,1,2,}pjjiiiGGkj1100100()()1ppjtittiitiijipjjiitjjtjjtjijjkxkBBBkGGB0(),()jjttjGBGBxGB记=那么方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0Green函数递推公式原理待定系数法得递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj,0,,,2,1110其中，()()()()ttttttBxBGBxGB2121()11ppkpkkBBBBB101)()pkjkjttkjBGB上式写成('111+-))jjjkjkttjkGGB整理得(（'1-0,1,2,jjkjkkGGj方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测平稳AR(1)模型的传递形式平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为itiitiittBBx01011)(1,1,0,1jGjj方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx0