第三章待定边界泛函的变分原理(16K)

38第三章待定边界泛函的变分问题§3.1泛函为xyyxFxxd),,(21的边界待定的变分原理前面两章中，泛函积分限都是已给的，在边界或端点上，)(xy的边界值是一定的，是不变的。而对于那些边界限已给，但)(xy的边界值不固定的问题而言，都可以找到相应的自然边界条件。总的讲来，所有这类问题的边界都是预先给定了的。这类问题极多，如梁给出了两端的坐标物理参数及几何尺寸，板同样也给出了边界的相应参数等等。但也有其他情况，其边界并不给定而是待定的，如弹塑性问题就属于这一类问题，当物体受力时，在物体内部即有弹性区域，又有塑性区域，而弹性区域的交界面并不是事先给定的，这个交界面总是由总体平衡和内部应力分布相互制约下达到的，是根据一定的受力状态待定的边界面、交界面决定的，也属于待定边界变分问题的目的之一。类似这类问题是很多的，如接触问题也是如此，因为接触面是随受力情况而变化的，接触面的尺寸不能事先给出。现在从最简单的变分泛函开始。设泛函21d),,(xxxyyxF（3-1）泛函的积分限1x及2x都可以是待定的，也可以一个1x为已给，而另一个2x为待定的。在下面，让我们首先研究1x已给，2x待定的终点待定问题。这类问题往往对终点也有限制，如限制终点在某已知曲线（或曲面上）等，或其它限制终点变化的约束条件等。这类终点待定的变分原理虽然是属于最简单的待定边界的变分问题，但它可以反映这类问题的基本特点，也可以反映处理这类问题的基本原理。对于边界已给定不变的变分问题，其欧拉方程为0)(ddyFxyF（3-2）在固定的边界条件下，使泛函（3-1）式达到极值)(xy，必为欧拉方程（3-2）式的解。（3-2）式是一个)(xy的二阶微分方程，其解中有两个积分常数1c和2c。于是，它的解可以写成),,(21ccxyy。这两个常数由)(xy通过已给定的两个端点条件来决定。也就是说一切通过)(11xyy及)(22xyy两点的许多曲线中选取一个)(xy，使（3-1）式的泛函达到极值，则这条曲线)(xy一定是（3-2）式的欧拉方程的解，这里可以看到欧拉方程（3-2）式和两端点固定条件，是（3-1）式泛函达到极值问题在边界固定条件下的充分和必要条件。但对于边界待定的变分问题而言，则并非如此。例如),(11yx一端固定，),(22yx一端待定，则欧拉方程的解),,(21ccxyy的1c与2c两个常数，只有一个固定点),(11yx条件决定它们，这是不够的，当然是不充分。如果两个端点都是待定的边界，则连一个条件也没有，1c和2c更缺少条件来确定了。其实)(xy仅仅满足欧拉方程，对边界待定的变分问题而言，还不能保证0δ。为了保证0δ，还一定得有其它的端点条件，这些条件可以用来决定1c和2c，所以，对于边界待定的变分问题，欧拉方程是必要的，但不是充分的，39我们一定可以从0δ的条件中导出补充的边界（或端点）条件来代替固定端点条件。一般说来，因为待定边界不是事先给定的，我们在选择)(xy的范围放宽了，因为它不受固定边界条件的限制，就是说有更多的曲线)(xy可以参加比较选择，求得的最小泛函值一定会比固定边界的泛函的极小值小；而求得的最大值也一定比固定边界的泛函的极大值大，这一结论是显而易见的。下面让我们来研究（3-1）式所表示的泛函，当2x为待定时的极值问题，并推导其补充端点条件。的变分来源于2x的变分2δx及)(xy的变分yδ，即21221d),,(d)δ,δ,(δxxxxxxyyxFxyyyyxF（3-3）或写为222δd)δ,δ,(xxxxyyyyxF21d)],,()δ,δ,([xxxyyxFyyyyxF（3-4）这里),(11yx为固定边界，它是不变的，是已给的，而在选择)(xy中，它可以变到通过另一点)δ,δ(2222yyxx的函数，如图3-1所示。图3-1终点待定的变分问题（3-4）式第一项可以用中值定理化简，即2δδδd)δ,δ,(22222xFxyyyyxFxxxxxx10我们认为F满足一定的连续条件，有1222),,(xxxxxyyxFF0δ,0δ22yx时，01。因此212δδδ),,(d)δ,δ,(2222xxyyxFxyyyyxFxxxxx当22δ,δyx都很小时，上式又可写为402δδ),,(d)δ,δ,(2222xyyxFxyyyyxFxxxxx（3-5）（3-4）式的第二项中的积分函数可以用泰勒级数展开，当yyδ,δ很小时，可以写为21d)],,()δ,δ,([xxxyyxFyyyyxF21d]δδ[xxxyyFyyF（3-6）并通过分部积分得212121dδ)](dd[]δ[d]δδ[xxxxxxxyyFxyFyyFxyyFyyF因为)(xy在1x点已给不变，所以0δ1y，于是221δ]δ[xxxxyyFyyF（3-7）必须注意，2|δxxy和2δy是不同的，如图3-2所示的，当极值曲线由))(B),,(AB(A2211yxyx移至))δ,δ(C),,(A(AC222211yyxxyx时，2|δxxy表示极值曲线)(xy在2xx时的增量，它相当于线段BD，而2δy为2y的变分，表示B点移到C点时)(xy的增量，它相当于线段FC，即2δFCδBD2yyxx，由于ECFCBDδ)(EC22，xxy所以有222δ)(δδ2xxyyyxx（3-8）从而得到31d)],,()δ,δ,([xxxyyxFyyyyxF图3-2终点待定的变分问题41]δ)(δ[δdδ)](dd[222231xxyyyyFxyyFxyFxxxx（3-9）将（3-5）和（3-9）式代入（3-4）式，当yyxδ,δ,δ22很小时，有2δ|dδ)](dd[δ221yyFxyyFxyFxxxx2δ|][2xyFyFxx（3-10）在一般情形下，端点),(22xy不是独立的，它可以沿某一已给曲线如)(22xfy（3-11）而移动。于是，有222δ)(δxxfy，而（3-10）式就给出了极值条件21dδ)](dd[δxxxyyFxyF0δ])([22xyFxfyFyFxx（3-12）从（3-12）中很容易看到，)(xy满足欧拉方程还不能使δ达到零，除非在端点2xx上还满足补充条件)(0)(2xxyFxfyFyF（3-13）所以，欧拉方程0)(ddyFxyF（3-14）只有在始点定点条件)(11xyy，（3-15）终点待定条件（3-11）式和补充条件（3-13）式在一起时，泛函（3-1）式的极值问题，才有充分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数1c和2c，第三个条件用来决定待定的端点坐标2x。补充条件（3-13）式是一个函数)(xy的斜率)(xy和已知端点曲线)(xf的斜率)(xf之间的关系，我们称（3-13）式为交换条件（或贯截条件）。一般说来，满足定点条件（3-15）式的欧拉方程（3-14）式的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成),(1cxyy。在利用了待定端点条件(3-11)式和补充条件（3-13）式之后，总能确定1c与2x这两个待定量，而在这样决定的一条曲线上，泛函必为极值。如果边界点),(11yx也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线)(11xgy上移动，则我们也能证明，在这一待定始点),(11yx上有下面的交接条件)(0)(1xxyFygF（3-16）现在让我们证明下述的正交的交接定理。泛函4221d1),(2xxxyyxN（3-17）在待定始点和待定终点条件下的极值解)(xyy，在交接处与端点曲线)(11xgy，)(22xfy相正交。本问题的F为21),(yyxNF（3-18）所以有21),(yyyxNyF（3-19）在终点和始点的交接条件（3-13）式与（3-16）式变为01),(])([1),(01),(])([1),(2222222222221111112111yyyxNyxfyyxNyyyxNyxgyyxN（3-20）如称)(11xgg，)(22xff，则上式可以化简为01)1(),(,01)1(),(222222211111yyfyxNyygyxN一般说来，),(11yxN及),(22yxN不等于零，则有1,12211yfyg（3-21）（3-21）式中指出：)(11xgy和)(11xyy两曲线在1x端相正交，)(22xfy和)(22xyy两曲线在2x端正交，此定理得到证明。§3-2泛函21d),,,,(xxxzyzyxF的边界待定的变分原理问题设泛函21d),,,,(xxxzyzyxF（3-22）上限2x是待定的，变分为21221d),,,,(d)δ,δ,δ,δ,(δδxxxxxxzyzyxFxzzyyzzyyxF（3-23）或222δd)δ,δ,δ,δ,(δxxxxzzyyzzyyxF21d)],,,,()δ,δ,δ,δ,([xxxzyzyxFzzyyzzyyxF（3-24）利用中值定理，并在第二个积分里保留zyzyδ,δ,δ,δ的线性部分，得到43212d]δδδδ[δδ2xxxxxzzFyyFzzFyyFxF（3-25）通过分部积分，得到222]δ[]δ[δδ2xxxxxxzzFyyFxF21d}δ)](dd[δ)](dd{[xxxzzFxzFyyFxyF（3-26）根据（3-8）式的推导，可以找到22|δ|δxxxxzy，和22δδzy，的关系为222222δ)(|δδ,δ)(|δδ22xxzzzxxyyyxxxx（3-27）将（3-27）式代入（3-26）式，即得222δ|δ|δ][δ222zzFyyFxzFzyFyFxxxxxx21d}δ)](dd[δ)](dd{[xxxzzFxzFyyFxyF（3-28）按222δδδzyx，，之间关系不同，有下列各种情况：（1）zyzyxδδδδδ222，，，，都是独立的这是最一般情况，由0δ给出欧拉方程0)(ddyFxyF，0)(ddzFxzF（3-29）同时给出2xx处的边界条件0][2xxzFzyFyF，0|2xxyF，0|2xxzF（3-30）于是可以利用欧拉方程（3-29）式，和极值曲线通过固定点),,(111zyx的条件和2xx处的边界条件（3-30）式这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和2x的待定值。（2）边界点),,(222zyx可以沿某一曲线)()(2222xgzxfy，任意移动这里指出22δδδzyx，，２之间并不独立，它们之间有下列关系222222δ)(δδ)(δxxgzxxfy，（3-31）将（3-31）式代入（3-28）式，化简为2δ])()([δ2xzFzgyFyfFxx21d}δ)](dd[δ)](dd{[xxxzzFxzFyyFxyF（3-32）0δ给出相同的欧拉方程0)(ddyFxyF，0)(ddzFx