第三章投影的基本知识.

第2章投影的基本知识2.1投影的形成2.2投影体系的形成2.3点的投影2.4直线的投影内容提要：本章主要介绍投影法，点、线、面及其相对位置的投影规律。应重点掌握投影法的基本概念，三面投影的形成，点的投影规律，直线的投影，平面内的点和直线，直线与平面、两平面相对位置等内容。2.5面的投影2.1投影的形成2.1.1投影的概念投影现象：空间物体在光线的照射下，会在墙面或地面产生影子，这就是投影现象。光源承影面光线物体影子投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法投射中心S投射线投影面形体投影(图)投影三要素：形体、投影方向（或投射中心）、投影面投影：由投影法得到的图形。投影面：选定的平面叫作投影面。※其中，物体用大写字母表示，其投影用小写字母表示。2.1.2投影法的种类根据投射线的类型，投影法可分为中心投影法和平行投影法。（一）中心投影法S投射中心aba形体物体的中心投影投射线中心投影法一般不反映物体各部分的真实形状和大小，投影大小随投射中心、物体和投影面之间的位置改变而改变；但是中心投影图立体感较好，常用来做建筑物的透视图和产品效果图。（二）平行投影法斜投影法正投影法形体投影面投射方向投射线投影(图)形体投影面投射线投影(图)a)斜投影法b)正投影法正投影的大小可真实地反映轮廓的长度或表面的形状大小。因此,国家标准“图样画法”(GB/T4458.1-2002)规定，机件的图样按正投影法绘制，而用斜投影法来绘制轴测图。（三）正投影的基本特性正投影图具有平行性、从属性、定比性、实形性、积聚性和类似性等基本特性。如下表所示为正投影的基本特征：（四）投影法的工程应用1.中心投影法——透视图(把物体投射到单一投影面上得到的具有立体感的图形)2.斜投影法——斜轴测图(在物体上设定直角坐标系,再用平行投影法把物体及坐标系沿不平行于任何一坐标面的方向投射到一个投影面上)3.多面正投影法——多面正投影图（把物体投射到两个或两个以上互相垂直投影面上，再按规定将这些面展开成一个平面得到的投影）4.标高投影法——标高投影图(在物体的水平投影上加注某些特征面、线及控制点的高程数值的单面正投影）正轴测图2.2.1问题的提出2.2投影体系的形成在工程上用的投影图，必须能正确、唯一地反映空间几何关系。但是，只凭一个投影并不能反映唯一的空间情况。因此，要想投影图能确切、唯一地反映空间的几何关系，就需要再引入一些条件，由此发展出多面投影。2.2.2三面投影体系（一）三面投影体系的建立一个三维坐标可以确定一个点的空间位置。两两垂直的三个坐标轴分别构成了XOY、XOZ、YOZ三个互相垂直的平面。由这三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为三面投影体系XOZ：称正立投影面，也称V面XOY：称水平投影面，也称H面YOZ：称侧立投影面，也称W面《机械制图》规定工程图样采用第一角画法，即将物体置于第Ⅰ分角内，使其处于观察者与投影面之间得到正投影的方法。画投影图时，需要将三个投影面展开到同一平面上，展开方法是V面不动，H面和W面分别绕OX轴或OZ轴向下或向右旋转90°与V面重合。（二）视图所谓视图实际上就是物体的多面正投影。物体在V、H和W面上的三个投影，通常称为物体的三视图。其中，正面投影称为主视图；水平投影称为俯视图；侧面投影称为左视图。三面投影的形成a)立体图b)三面投影的展开图c)三面投影V面投影：即从前往后投射，在V面上所得的投影，反映长和高(x、z)；H面投影：即从上往下投射，在H面上所得的投影，反映长和宽(x、y)；W面投影：即从左往右投射，在W面上所得的投影，反映高和宽(y、z)。（三）三面投影的投影规律a)坐标及方位关系b)方位及对应关系c)投影规律V面投影与H面投影共同反映立体的长，其投影在长度方向互相对正，简称长对正；V面投影与W面投影共同反映立体的高，其投影在高度方向互相平齐，简称高平齐；H面投影与W面投影共同反映立体的宽，其投影在宽度方向一一对应，且保持相等，简称宽相等。左右左右长对正xxyyzz下上下上高平齐后前后前宽相等a)立体图b)三面投影图（四）作立体的三面投影（五）投影轴的恢复（六）基本体立体:平面立体、曲面立体（按围成体的面的类型分）；基本体、组合体（按复杂程度分）。基本立体的三视图、尺寸注法及投影特性请见P84-85。视图中的投影线条有立体表面的交线及回转体的轮廓线。2.3点的投影2.3.1点的三面投影点在一个面上的投影是唯一的，但是根据一个投影不能唯一确定点的空间位置，因此需要增加投影面。空间点及其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C表示，在水平面H上的投影用相应的小写字母a、b、c表示，在正面V上的投影用相应的小写字母加一撇表示，如a、b、c，在侧面W上的投影用相应的小写字母加两撇表示，如a、b、c。注意：投影面展开后Y轴有两个位置，随H面旋转的标记为YH，随W面旋转的标记为YW，两者都代表Y轴。2.3.2点的投影特性1.点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，aa⊥OX，反映空间点X的坐标；2.点的V与W投影连线垂直于OZ轴，aa⊥OZ，反映空间点的Z坐标；3.点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离，反映空间点的Y坐标。4.点的投影与坐标满足一下关系：（1）aaz=aay=Aa=xA（2）aax=aaz=Aa=yA（3）aax=aay=Aa=zA2.3.2点的投影特性【例2-1】已知点A的两面投影和点B的坐标为（25，20，30），求点A的第三面投影及点B的三面投影（见图2-8a）。各种位置点的投影空间点：点的三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点：点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点：点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点：点的三个坐标均为零，三个投影面都与原点重合。2.3.3两点的相对位置和重影点1.两点的相对位置两点间上、下、左、右和前、后的关系，可以用两点间的相对位置和坐标来判断。aaabbbBA两点中x值大的点—在左；y值大的点—在前；z值大的点—在上2.重影点若空间两点的某一投影重合在一起，则该点称为对该投影面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判别。cd(c)dCDa(b)abAB从投影方向看，重影点必有一点的投影被另一点的投影遮住而不可见。判断可见性时，需要重影点在另一投影面对上的投影，坐标值大的点投影可见。不可见点的投影加上括号。动画演示2.4直线的投影2.4.1直线投影直线的投影一般仍为直线（特殊）。由几何学知道，空间两点决定一直线，因此要作直线的投影，只需作出直线段上两点的投影（两点在同一投影面上的投影称为同面投影）。2.4.2直线的投影特性（各种位置直线的投影）一、特殊位置直线1.直线平行于一个投影面(1)水平线(2)正平线(3)侧平线2.直线垂直于一个投影面(1)铅垂线(2)正垂线(3)侧垂线3.从属于投影面的直线二、一般位置直线(1)水平线—只平行于水平投影面的直线投影特性：1．abOX;abOYW2．ab=AB3．反映、角的真实大小（2）正平线—只平行于正面投影面的直线投影特性：1．abOX;abOZ2．ab=AB3．反映、角的真实大小（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线投影特性：1．abOZ;abOYH2．ab=AB3．反映、角的真实大小投影特性：1．ab积聚成一点2．abOX;abOYW3．ab=ab=AB（1）铅垂线—垂直于水平投影面的直线（2）正垂线—垂直于正面投影面的直线投影特性：1．ab积聚成一点2．abOX;abOZ3．ab=ab=AB（3）侧垂线—垂直于侧面投影面的直线投影特性：1．ab积聚成一点2．abOYH;abOZ3．ab=ab=ABZXabaOYHYWabbZYWbXaba(b)OYHa从属于V面的直线从属于V面的铅垂线ZXabaOYHYWabb从属于OX的直线从属于投影面的直线二、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1．ab、ab、ab均小于实长2．ab、ab、ab均倾斜于投影轴3．不反映、、实角一般位置直线实长及其与投影面夹角的求解求解一般位置线段的实长及倾角是画法几何经常遇到的基本问题之一，也是工程上经常用到的问题。直角三角形法是较方便的。直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角直角三角形的四要素：实长、投影长、坐标差及直线相对于投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|ABab|zA-zB|ABab|yA-yB||yA-yB|直线的实长及对正投影面的夹角角直线的实长及对侧面投影面的夹角角ABbbabaa|xA-xB|例：直线的实长及对水平投影面的夹角角.如图所示，求直线AB的实长及对H面的倾角α。并在直线AB上取一点C，使线段AC=12mm。2.4.3直线上的点点在直线上，由正投影的基本性质可知，应有下列投影特性：（1）点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。（2）点分线段之比等于其投影之比（定比性）。判断点是否在直线上的方法：一般可通过两个投影面上的投影来判断；但当直线为投影面平行线时，通常还需要求出第三个面的投影进行判断。例已知线段AB和点K的投影，试判断点K是否属于AB2.4.4两直线的相对位置因此，空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和异面。如两直线处于一般位置，一般由两面投影即可判断，若直线处于特殊位置，则需要利用三面投影或定比性等方法判断。异面直线与直线相交共面平行（一）平行两直线投影特征空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行，且具有定比性。判断两直线是否平行，一般情况下只需判断两直线的任意两对同面投影是否平行；但当两直线为投影面的平行线时，空间两直线不一定平行，需两直线的三个同面投影分别相互平行。（二）相交两直线投影特征空间两直线相交，则其同面投影必互相相交，且其交点必符合空间点投影特性；反之亦然。判断两直线是否相交，一般情况下只需判断投影图中两直线的交点是否符合空间点的投影特征。（三）两直线异面即不平行又不相交的两条直线称为两异面直线。两异面直线在空间不存在交点，在投影面中两空间直线投影所产生的交点是点的同面重影造成的。（四）直角投影定理垂直相交的两直线，若其中一直线平行于某投影面，则二直线在该投影面上的投影反映直角。2.5面的投影2.5.1平面的表示法在投影图上，通常可以由几何元素来表示一个平面，称为几何元素法。a)不在同一直线上的三个点b)一直线及直线外一点c)相交两直线e)任意的平面图形，如三角形、四边形d)两平行直线2.5.2各种位置平面的投影特征平面对投影面的投影特性取决于平面与投影面的相对位置，有三种情况：垂直一个投影面，且倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面；又分为正垂面、铅垂面和侧垂面。（一）投影面垂直面根据平面在三投影面体系中所处的位置，可将平面分为三类：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。实形性：平面平行于投影面时，它的投影反映平面的实形。积聚性：平面垂直于投影面时，它的投影积聚成一条直线。类似性：平面倾斜于投影面时，它的投影与平面类似。1）正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、γ。2）水平投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小。1.正垂面投影特征：2.铅垂面投影特征：1）水平投影积聚成一直线，并反映真实倾角β、γ。2）正面投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小