苏北四市高三年级第三次模拟考试

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]苏北四市高三数学试卷第页(共6页)苏北四市高三年级第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．03一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.若a＋i1－i(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是____________．2.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∪B＝____________.3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为____________．4.在如图所示的流程图中，输出的结果是______________．(第4题)5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为____________．6.在约束条件0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1下，则x－12＋y2的最小值为__________．7.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的一个定点，从P在摩天轮最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面高度为________米．8.已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r＞0}，若点(x，y)∈A是点凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](x，y)∈B的必要条件，则r的最大值是____________．9.已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__________.10.若函数f(x)＝2x，x＜0，－2－x，x＞0，则函数y＝f(f(x))的值域是____________．11.如图所示，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1—ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12.已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为____________．13.在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x、y≠0)，则4x＋y的最小值是______________．14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为3π4，OB＝2，设∠AOB＝q，q∈π2，3π4.(1)用q表示OA；(2)求OA→×OB→的最小值．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]16.(本小题满分14分)如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.(1)求证：HG∥平面ABC；(2)请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．(本小题满分14分)如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t＝1时，求出直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]18.(本小题满分16分)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋42(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1、a3、ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项．(1)若k＝7，a1＝2.①求数列{anbn}的前n项和Tn；②将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1的值；(2)若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、ak、am成等比数列，求证：k为奇数．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋lnx，f1(x)＝16x2＋43x＋59lnx，f2(x)＝12x2＋2ax，a∈R.(1)求证：函数f(x)在点(e，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标；(2)若f(x)＜f2(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)当a＝23时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f1(x)＜g(x)＜f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]苏北四市高三数学附加题试卷第页(共2页)苏北四市高三年级第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P.(1)求证：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.求证：∠OKM＝90°.B.选修4­2：矩阵与变换已知矩阵M＝1bc2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝23.(1)求矩阵M；(2)求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．C.选修4­4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρsinθ－π4＝32.(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P为椭圆C：x216＋y29＝1上一点，求P到直线l的距离的最大值．D.选修4­5：不等式选讲设x、y、z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．(1)求证：PN⊥AM；(2)若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]23.已知数列{an}中，对任意n∈N*，an＋1＝4a3n－3an.(1)求证：若|an|＞1，则|an＋1|＞1；(2)若存在正整数m，使得am＝1，求证：①|a1|≤1；②a1＝cos2kπ3m－1(其中k∈Z)(参考公式：cos3α＝4cos3α－3cosα)．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]苏北四市高三数学参考答案第页(共4页)苏北四市高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.－12.{x|x＞0}3.1004.605.296.2557.148.229.210.－1，－12∪12，111.2412.(0,0)13.9414.216(或者65536)二、解答题：本大题共6小题，共90分．15.解：(1)在△ABC中，因为OB＝2，∠BAO＝π4，∠ABO＝π－π4－q＝3π4－q，由正弦定理，得OBsinπ4＝OAsin∠ABO，(3分)即222＝OAsin3π4－q，所以OA＝22sin3π4－q.(6分)注：仅写出正弦定理，得3分．若用直线AB方程求得OA＝2(sinq＋cosq)或OA＝22sinθ＋π4也得分．(2)由(1)得OA→×OB→＝|OA→||OB→|cosq＝42sin34π－qcosq(8分)＝2(sin2θ＋cos2θ)＋2＝22sin2θ＋π4＋2.(10分)因为q∈π2，3π4，所以2q＋π4∈5π4，7π4，所以当2q＋π4＝3π2，即q＝5π8时，OA→×OB→的最小值为2－22.(14分)16.(1)证明：因为BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH＝FG，所以BD∥FG.同理BD∥EH，又EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以HG∥EF.又HG⊄平面ABC，EF⊂平面ABC，所以HG∥平面ABC.(6分)(2)解：在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于点P，在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于点Q，连结EQ，则EQ即为所求线段．(10分)证明如下：EP⊥ACPQ⊥ACEP∩PQ＝P⇒AC⊥平面EPQEQ⊂平面EPQ⇒EQ⊥AC.(14分)17.解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y＝1上．设圆C与x轴的交点分别为A、B，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB＝2π3，所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为(－2,1)，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.(4分)(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝mx＋1，凤凰出版传媒集团