第三章机械.

第三章疲劳应用统计学基础3.1疲劳数据的分散性3.2正态分布3.3威布尔分布3.4二元线性回归分析3.5S-N曲线和P-S-N曲线的拟合返回主目录第三章疲劳应用统计学基础3.1疲劳数据的分散性1)实验：7075-T6铝R=-1,恒幅45678X=lgN105099.9Pf1007075-T6铝合金对数疲劳寿命分布2430.117030999051Sinclair和Dolan,1953.应力水平越低，寿命越长，分散性越大。15207MPa下57件，寿命:2×106108次；240MPa下29件，寿命:7×1054×106次275MPa下34件，寿命：1×1058×105次310MPa下29件，寿命：4×1041×105次430MPa下25件，寿命：1.5×1042×104次。分散性：共174件NS(MPa)400300200104101010105678klgN2015105678+207MPa共57件寿命分布直方图100102倍对数正态分部由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿命不能用传统的确定性方法预测。在工程设计和系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概率为基础的方法。材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等。原因：裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应力局部，上述因素影响较小。光滑件寿命分散缺口件裂纹扩展寿命给定应力水平下，寿命小于N的概率pf？存活率为ps（如99%）的疲劳寿命？问题疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述。0f(x)mx=X正态概率密度曲线3.2正态分布对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。令X=lgN,X即服从正态分布。一、正态分布的密度函数和分布函数fxx()exp[()]12222m密度函数：(-x)m是均值；f(x)关于x=m对称为标准差，是非负的。越小，f(m)越大，曲线越瘦，X的分散性越小。故标准差反映X的分散性。(1)f(x)0;随机变量X取值的可能性非负。在x=m处,f(x)最大，且:f(x=m)=12密度函数性质：(无论分布形式如何)1)(dxxf(2)；所有取值的总可能为1。fxx()exp[()]12222m0f(x)mx=X正态概率密度曲线dxxdxxfxXxFxx]2)(exp[21)()Pr()(22m正态概率分布函数F(x)为：F(x)是X小于等于x的概率,是f(x)在x左边的面积。0f(x)mxX正态概率密度曲线F(x)1-F(x)显然:Pr(Xx)=1-F(x)F()=1)(dxxf二、标准正态分布令,即有：ux()mxum注意dx=du,由密度函数变换公式可得到标准正态分布密度函数为：(-u)()()exp()ufxdxduu12122U0-uu(u)标准正态分布密度函数u服从均值m=0、标准差=1的正态分布。标准正态分布函数则为：)()21exp(21)(2mxduuuuu0或(u)0.5，利用(-u)=1-(u)的关系求解。注意有：(0)=0.5；(-u)=1-(u)；Pr(aub)=(b)-(a)u(u)关系，还可用近似表达式表达，如：()exp[(..)].uu10865340412632534uu(ln[()].)/..10865340412630394633u0(u)0.5且由，还有：F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=(u)故求正态分布函数F(x)，只需求得(u)即可。xumU0-uu(u)标准正态分布密度函数(-u)(u)1U0ab(u)(a)(b)-(a)分布参数估计：设在某si下，样本含n个疲劳寿命数据xi=lgNi；破坏概率为p的对数疲劳寿命xp为：三、给定疲劳寿命下的破坏概率估计xnxiin11则样本均值为：snxxnxnxini221221111()()样本方差s2为：标准差s是偏差(xi-)2的度量，反映分散性大小。只有(n-1)个偏差独立。xup可由p确定。存活概率R=1-p。xuppmxxuspp3)存活率为99.9%的寿命：xp=2.1674-3.09×0.05=2.013R=99.9%的安全寿命为：Np=lg-1xp=103(千周)例3.1在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数据Ni。试确定存活率为99.9%的安全寿命N。解：将Ni从小到大排列；1)计算样本均值和标准差；=2.1674s=0.05；(n=10)x2)确定标准正态偏量up。p=1-R=0.001=0.1%查表3.1得：up=-3.09序号iN/10i312345678910124134135138140147154160166181xi24.38234.52464.53824.57924.60574.69724.78524.85814.92885.0972S21.673546.9965x=lgNii2.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.2577若=95%，意味着100个样本估计的xp中，有95个小于xp()。即有95%的把握认为估计量小于真值。四、置信水平估计量Np=+ups，若大于真值m+up，偏于危险。x置信度：估计量小于真值的概率。xxksp()破坏率p，置信度的对数寿命写为：kuununununpp{[()]()}()112121121222单侧容限系数k：有表可查若u=0,有k=up，则xp()=+ups；=50%。x五、正态概率纸问题：X是否服从正态分布？已知：xF(x)关系：非线性xu关系：线性F(x)=(u)u：一一对应能否作出xF(x)呈线性关系的坐标纸？先画x-u坐标，即若随机变量X服从正态分布，则有线性关系；再按u-(u)关系，依据u标定F(x)，则线性关系不变。若X服从正态分布，F(x)-x在概率纸上呈线性。x正态概率纸up0321-1-2-3p1000.010.1150103070909999.9利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布，需xiF(xi)数据描点，由其是否线性作出判断。F(xi)是对数寿命X小于xi的概率，即破坏概率。其均秩估计量为：F(xi)=pi=i/(n+1)无论X服从何种分布，此式均适用。序号iN/10i3x=lgNiiin+1123456789101241341351381401471541601661812.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.25770.09090.18180.27270.36360.45450.54550.63640.72730.81820.9091例3.1之xiF(xi)数据如表所列，可在正态概率纸上描点，观察是否呈线性，判断X是否服从正态分布。样本标准差s？利用p=15.87时，up=-1；由图得到：xp=2.114；例3.1之数据描点如图。注意：用s=ctgq估计标准差时，必须x、u的坐标标定一致。可知：X是否服从正态分布？均值？(与50%破坏率对应)=2.167x由xp=+ups；有：s=(xp-)/up=-xp=2.167-2.114=0.053xxxP1000.1150103070909999.92.12.22.3x=lgN3210-1-2-3uxq分析计算框图：疲劳试验R、S给定样本数据n个N排序i破坏率F(Ni)=i/(n+1)概率纸上描点[x=lgNi,F(Ni)]是否正态分布线性？估计分布参数,s(计算或图解法)x给定破坏概率pf下的疲劳寿命？寿命N对应的pf？up=(lgN-)/s;pf=(up)xxp=lgNp=+upsx寿命有大于零的下限,正态分布不能反映。3.3威布尔分布Weibull1951一、密度函数和分布函数1.密度函数定义为：(NN0)fNbNNNNNNNNNNaabab()[]exp{()}000100下限N0，最小寿命;尺度参数Na，反映数据的分散性；形状参数b；反映f(N)曲线形状。三个参数f(N)N-NN-N00ab=1b=3.5-4b=2Weibull密度函数曲线0指数Reyleigh正态分布dNNNNNNNNNNNbdNNfNFbabaNNaNN])(exp[][)()(00100000N=N0，F(N0)=0，即寿命小于N0的概率为零；N=Na，F(Na)=1-1/e=0.632，Na称特征寿命参数。2.分布函数：F(N)--寿命小于等于N的概率。bbbxbxxxaxbaexdedxNNexNNbxF1)()()(00010令x=(N-N0)/(Na-N0),则有dN=(Na-N0)dx,可得：FNNNNNab()exp[()]100注意F(N)=F(x),故得Weibull分布函数F(N)为：变量lglg[1-F(N)]-1lg(N-N0)间有线性关系；或lg[1-F(N)]-1(N-N0)间有对数线性关系。B是直线的斜率，称斜率参数。1100FNeNNNNab()()将分布函数式改写为：lglg[()]lg()lglglg()1100FNbNNebNNa取二次对数后得到：3.二参数威布尔分布函数令N0=0，则二参数威布尔分布FNNNab()exp[()]1能否作出威布尔概率纸？N-F(N)，非线性关系；lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，线性lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一对应二、分布参数的图解估计二个问题：N是否服从威布尔分布？如何确定其分布参数？0.90.50.1F(N)lglg[1-F(N)]-1F(N)lglg[1-F(N)]-10.010-0.521-1.339-2.360F(N)lglg[1-F(N)]-1—对应值结论：可作威布尔概率纸。若N服从威布尔分布，概率纸上lg(N-N0)-F(N)应有线性关系。威布尔概率纸lg(N-N)0456lglg[1-F(N)]-10-0.5-1.0-1.5-2.00.90.50.10.050.02F(N)解：1）Ni排序,估计F(Ni)2）估计下限:0N0N1例3.2二组疲劳寿命数据如表。判断其是否服从威布尔分布并估计分布参数。iN(10)5N(10)5例A例B123456782.03.75.08.011.513.020.023.54.05.06.07.38.09.010.613.0F(N)=1n+10.1110.2220.3330.4440.5560.6670.7780.889.1.5120.90.50.1F(N)威布尔概率的应用0.050.02N-N0(10)6ABB'0.632B'：N0=N1/2=2×105A、B：N0=0注意F(N)=0.9时，lglg[1-F(N90)]-1=0,有：beNNNNa[lglg(.)lglg]/[lg()lg()]10919000036229000./[lg()lg()]NNNNaNa对应的破坏概率为63.2%。3)估计分布参数Na和b。如A：N90-N0=23.5×105,Na-N0=11.5×105。有：b=0.3622/lg(23.5/11.5)=1.17A组：Na-N0=11.5×105,因为N0=0，Na=11.5×105；B‘组：Na-N0=6.8×105,N0=2×105，Na=8.8×105。.1.5120.90.50.1F(N)N-N0(10)6AB'0.632对于给定应力水平的一组寿命数据Ni，估计其对应的破坏概率F(Ni),在威布尔概率纸上描点，即可判断其是否服从威布尔并估计分布参数。.1.5120.90.50.1F(N)威布尔概率的应用0.