第三章流体动力学基础4流体动力学基础

493流体运动学基础一、学习目的和任务1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。2.掌握流体动力学中的若干基本概念。3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。6.理解流体微元运动的四种形式。二、重点、难点1.重点欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。2.难点连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。3.1描述流体运动的二种方法为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后，t=t0+△t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：50),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx（3－1）式中，初始坐标（a,b,c）与时间变量t无关，（a,b,c,t）称为拉格朗日变数。类似地，对任一物理量N，都可以描述为：),,,(tcbaNN（3－2）显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。3.1.2欧拉(Euler)方法欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x,y,z)设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x,y,z,t)，(x,y,z,t)称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置的数学描述是：),,,(),,,(),,,(tzyxzztzyxyytzyxxx（3－3）类似地，对任一物理量N，都可以描述为：),,,(tzyxNN（3－4）需要注意的是，“观察点”的空间位置(x,y,z)是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观察点，质点的位移是时间t函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函数是用观察点和时间t为变量，即欧拉变数(x,y,z,t)表示出来的。因此，欧拉变数(x,y,z,t)中的x、y、z不是独立变量，它们也是t的函数，即有：)()()(tzztyytxx（3－5）欧拉方法对流场的表达式举例如下：描述速度场的表达式：),,,(tcbavv，或写成分量形式：（3－6）),,,(),,,(),,,(tzyxvvtzyxvvtzyxvvzzyyxx（3－7）压强场的表达式：),,,(tzyxpp（3－8）51密度场的表达式：),,,(tzyx（3－9）温度场的表达式：),,,(tzyxTT（3－10）可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c）的质点，在t时刻正好到达空间位置(x,y,z)，则根据（3－1）和（3－3）有：),,,()],,,(),,,,(),,,,([),,,(tcbaNtcbaztcbaytcbaxNtzyxNN（3－11）因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。3.2流体动力学中的基本概念为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。3.2.1定常场与非定常场如果流场中的各物理量的分布与时间t无关，即：0tTttptv（3－12）则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。3.2.2均匀场与非均匀场如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即：0zTyTxTzyxzpypxpzyxvvv（3－13）则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。3.2.3质点导数将式（3－4）对时间t求导，因其中的变量x、y、z又是t的复合函数，见式（3－5），故有：tNdtdzzNdtdyyNdtdxxNdtdN（3－14）52我们称上式为质点导数。考虑到位移对时间的导数就是速度，即：zyxvdtdzvdtdyvdtdx＝＝＝,,（3－15）所以质点导数又可写成：tNzNvyNvxNvdtdNzyx（3－16）若令：zyxkji（3－17）则（3－16）又可写成：tNNdtdN)v（（3－18）式中，称为哈密顿（Hamilton）算子，是按照式（3－17）进行微分的记号。分析式（3－18），知质点导数由二部分组成：（1）tN：称为当地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中，各物理量均不随时间变化，故当地导数必为零。（2）zNvyNvxNvzyx或N)v（：称为迁移导数，反映是物理量随空间的变化率。在均匀场中，各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。下面以物理量速度v为例，进一步说明质点导数的物理意义。由式（3－18），速度v的质点导数为：tdtdvvvv)（（3－19）直角坐标系中，也可写成：tvzvvyvvxvvtvvdtdvtvzvvyvvxvvtvvdtdvtvzvvyvvxvvtvvdtdvzzzzyzxzzzyyzyyyxyyyxxzxyxxxxx)))vvv（（（（3－20）式（3－20）中，速度的质点导数就是质点的加速度，它同样由当地导数（当地加速度）和迁移导数（迁移加速度）组成。例如，在x向，当地导数tvx表示vx随时间t的变化率，即由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的xvvxx表示由x方向位移引起的加53速度，yvvxy表示由y方向位移引起的加速度，zvvxz表示由z方向位移引起的加速度。由此可见，在用欧拉方法描述流体运动时，质点加速度不再是简单的速度对时间求导，还要包含位移引起加速度。图3－1所示装置可以说明质点加速度的概念。装在水箱中的水经过水箱底部的一段等径管路a及变径喷嘴段b，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其他物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s方向，v是经过管路的平均速度。在水位高h维持不变的条件下，管路a段的速度是匀速运动，即速度与时间t和空间位置s无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度和因时间t引起的当地加速度都是零。管路b段的速度沿s逐渐加快，但不随时间t改变，因此形成的流场是定常场和非均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度不为零，因时间t引起的当地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高h持续下降的情况下，二段的迁移加速度和当地加速度的情况。3.2.4迹线与流线3.2.4.1迹线与流线的定义迹线是流体质点运动轨迹线，是拉格朗日方法描述的几何基础，用此方法描述时，表达式就是式（3－1）。流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻，位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见，流线是欧拉方法描述的几何基础。同一时刻，流场中会有无数多条流线（流线簇）构成流动图景，称为流线谱或流谱。虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线的存在。比如，在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首尾相连的短线就组成流场中的流线谱。如图3－2，流体通过二种不同的管中窄口处出现的流现形状。3.2.4.2流线的作法在流场中任取一点（如图3-3），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v2…，如此继续下去，得一折线1234…n，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。3.2.4.3流线微分方程式图3－1当地加速度与迁移加速度图3－2流线谱中显示的流线形状图3－3流线的作法图3－4流线微分方程式54参见图3－4，设流线上某质点A的瞬时速度为kjivzyxvvv（3－21）流线上微小线段长度的矢量为kjisdzdydxd（3－22）根据流线定义，速度矢量v与流线矢量ds方向一致，矢量的×积为零，于是有0svd（3－23）写成投影形式，得zyxvdzvdyvdx（3－24）这就是最常用的流线微分方程式。[例题3－1]已知流场中质点的速度为0zyxvkyvkxv)0(y试求流场中质点的加速度及流线方程。解：从0zv和)0(y知，流体运动只限于Oxy平面的上半部分，质点速度为kryxkvvvyx2222由（3－20）可以得质点加速度为xkxvvdtdvaxxxx2yyyyykyvvdtdva20zarkykaaxyxa222222从流线方程kydykxdx消去k，积分得Cyxlnlnln即Cxy55作流线方程Cxy的曲线如图3－5所示，是一族双曲线，质点离原点越近，即r越小，其加速度与加速度均越小，在r＝0点处，速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零的点为驻点（或滞止点），如图中O点即是。在r→∞的无穷远处，质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。驻点和奇点是流场中的两种极端情况，一般流场中不一定存在。3.2.4.3流线的性质流线具有以下性质：（1）定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。定常流动时，质点经过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合的理由：见图3－3，如果有一质点在初始时刻的