第三章流体动力学理论基础.

工程流体力学第三章流体动力学理论基础第三章流体动力学理论基础§3-1描述流体运动的方法§3-2研究流体运动的若干基本概念§3-3流体运动的连续性方程§3-4理想流体的运动微分方程及其积分§3-6动量方程§3-5伯努利方程第三章流体动力学理论基础(6学时)一、本章学习要点:•研究流体运动的若干基本概念•流体的连续性方程•流体运动微分方程•伯努利方程及其应用•动量方程及其应用二、本章研究思路理想流体()实际流体()00三、基本理论质量守恒定律牛顿第二定律动量定理§3-1描述流体运动的方法一、拉格朗日方法1.方法概要着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，并通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。2.研究对象运动流体质点或质点系。xzyOM（a，b，c）t0（x，y，z）t3.运动描述•位置：),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx•加速度：222222tzatyatxazyx式中：a,b,c为运动流体质点的起点坐标a,b,c,t称为拉格朗日变量•流速：tzutyutxuzyx,,固体运动常采用拉格朗日法研究，但流体运动一般较固体运动复杂，通常采用欧拉法研究。着眼于流体经过流场中各空间点时的运动情况，并通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动要素及其变化规律，来获得整个流场的运动特性。1.方法概要二、欧拉法•流场：充满运动流体的空间(流体运动所有物理量场的总体）。•运动要素：表征流体运动状态的物理量，如流速、加速度、压强等。2.研究对象流场3.运动描述•流速场：•压强场：),,,(tzyxppxzyOM（x，y，z）t时刻(,,,)(,,,)(,,,)xxyyzzuuxyztuuxyztuuxyzt若x，y，z为常数，t为变数若t为常数，x，y，z为变数•加速度场：zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxuuuua)(ddtt即式中：x,y,z为流场中空间点的坐标x,y,z,t称为欧拉变量kjiuzyxuuukjizyx为哈密顿算子符说明：用欧拉法描述流体运动时，流体质点的加速度由两部分组成：•：当地加速度或时变加速度，表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；•：迁移加速度或位变加速度，表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。tuuu)(§3-2研究流体运动的若干基本概念一、恒定流与非恒定流•恒定流：，即运动要素不随时间变化，当地加速度为零，如枯水季节的河流。1.定义•非恒定流：，如洪水季节的河流。0)(t0)(t二、一元流、二元流和三元流1.定义如:)()(sfuxfu或为一元流动),,(zyxfu为二元流动),(yxfu为三元流动运动要素是几个坐标的函数，就称为几元流动。2.实际流体力学问题均为三元流动.但三元流动问题研究较为困难，工程中一般根据具体情况加以简化3.工程流体力学主要研究一元流动三、流线与迹线•迹线：同一流体质点在不同时刻的运动轨迹。时间为变量。•流线：流场中同一时刻与许多流体质点的流速矢量相切的空间曲线。•时间为参变量。u21uu2133u6545u46u1.定义2.流线的主要性质•一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；•流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某时刻流场内的流谱；•恒定流动时，流线的形状、位置均不随时间发生变化，且流线与迹线重合；•对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小。3.基本方程•流线：tuzuyuxzyxdddd•迹线：zyxuzuyuxddd0d或su[例2]已知速度ux=x+t，uy=－y+t求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。解：（1）流线：积分：t=0时，x=－1，y=－1c=0tydytxdxctytx))(ln(——流线方程（双曲线）1xy（2）迹线：dttydydttxdxtydtdytxdtdx1121tecytecxtt由t=0时，x=－1，y=－1得c1=c2=0——迹线方程（直线）2yx11tytx（3）若恒定流：ux=x，uy=－y流线迹线1xy1xy注意：恒定流中流线与迹线重合四、流管、流束、元流、总流、过流断面1.流管在流场中通过任意不与流线重合的封闭曲线上各点作流线而构成的管状面。2.流束流管内所有流线的总和。流束可大可小，视流管封闭曲线而定。•元流：流管封闭曲线无限小，故元流又称微元流束。•总流：流管封闭曲线取在流场边界上，总流即为许多元流的有限集合体。3.过流断面与流束中所有流线正交的横断面。过流断面一般为曲面，在特殊情况下才是平面。dA五、流量、断面平均流速1.流量单位时间内通过过流断面的流体量。AAuQd•常用单位:m3/s或L/s•换算关系:1m3=1000L元流的流量为AuQdd总流的流量等于所有元流的流量之和，即2.断面平均流速•过流断面上实际的点流速分布都是不均匀的•在工程流体力学中，为简化研究，通常引入断面平均流速概念AAuAQvAd六、均匀流与非均匀流、渐变流1.均匀流0)(uu即迁移加速度等于零。各流线为彼此平行的直线。2.非均匀流0)(uu各流线或为直线但彼此不平行或为曲线。天然河流是典型的非均匀流。3.渐变流流线的曲率半径R足够大，流线间的夹角β足够小。天然河流是渐变流的近似。渐变流过流断面具有两个重要性质:•渐变流过流断面近似为平面；•恒定渐变流过流断面上即流体动压强近似按流体静压强分布。Cpz均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流急变流七、系统与控制体1.系统包含确定不变的流体质点的流体团(即质点系)。为拉格朗日法研究流体运动的研究对象。2.控制体相对于某个坐标系而言，有流体流过的固定不变的任何体积。为欧拉法研究流体运动的研究对象。§3-3流体运动的连续方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达形式。一、连续性微分方程取如图所示微小正交六面体为控制体。分析流进、流出控制体的流体质量差：x方向:zyxxuzyxxuuxxzyxxuuxxmxxxxxxddd)(dd)d21)(d21(dd)d21)(d21(zyxyumyyddd)(y方向:z方向:zyxzumzzddd)(据质量守恒定律：即zyxtmmmzyxddd将zyxmmm、、代入上式，化简得：0)()()(zuyuxutzyx0)(ut或上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式单位时间内流进、流出控制体的流体质量差之总和等于控制体内流体因密度发生变化所引起的质量增量对于恒定流，连续性方程可简化为：)0(t0)()()(zuyuxuzyx或0)(u不可压缩流体)(常数0zuyuxuzyx二、连续性积分方程取图示总流控制体，将连续性微分方程对总流控制体积分：VV0dV)(dVut•因控制体不随时间变化，故式中第一项VVdVdVtt•据数学分析中的高斯定理，式中第二项VddV)(AnAuu故连续性积分方程的一般形式：0ddVVAnAut三、恒定不可压缩总流的连续性方程对于恒定不可压缩（ρ＝常数）)0dV(Vt总流，连续性积分方程可简化为：AnAu0d取图示管状总流控制体，因其侧面上un=0（为什么？请思考），故有120dd2211AAAuAu式中第一项取负号是因为流速u1与dA1的外法线方向相反。应用积分中值定理，可得上式即为恒定不可压缩总流的连续性方程。说明：流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动学方程，因此对实际流体和理想流体均适用。QAvAv2211Q1Q2Q3Q1Q2Q3123QQQ132QQQ§3-4理想流体的运动微分方程及其积分一、理想流体的运动微分方程将欧拉平衡微分方程0F01pf推广到理想运动流体,得aFmtpdd1uf上式即为理想流体运动微分方程,亦称欧拉运动微分方程。二、欧拉运动微分方程的积分将各项点乘微元线段,得tpdd1ufsdsussfdddd1dtp为积分上式,现附加限制条件:•恒定流:)0)((tppdds•不可压缩流体:)(cpppdd1d1s•质量力有势:Wsfdd•沿流线积分:2dddddddd2uttuususu代入前式,整理得02d2upW积分上式,得Cup22W上式即为沿流线成立的伯努利积分式。§3-5伯努利方程一、理想流体恒定元流的伯努利方程对于质量力只有重力的情况gzzgWWdd代入伯努利积分式,得Cupgz22或Cgupz22或2gz222222111upgupz上式即为理想流体恒定元流的伯努利方程(同一流线)S211.伯努利方程的物理意义•:mgmgzz单位重量流体所具有的位能。•:mgpmgp/单位重量流体所具有的压能。pz单位重量流体所具有的势能。•:•:mgmuu/212g22单位重量流体所具有的动能。由此可见,对于理想流体恒定元流,其单位重量流体的机械能沿流线是守恒的。2g2upz•:单位重量流体所具有的机械能。001Z2Z122.伯努利方程的几何意义•:z位置水头•:p压强水头•:2g2u流速水头由此可见,对于理想流体恒定元流,其总水头沿流线是不变的。pz:测压管水头gupz22:总水头二、实际流体恒定元流的伯努利方程•设为元流中单位重量流体沿程的机械能损失，亦称水头损失，则据能量守恒定律，可得'WhWhgupzgupz2222222111上式即为实际流体恒定元流的伯努利方程001Z2Z12wh•为了形象地了解流体运动时能量沿程的变化情况定义：测压管线坡度lpzJpdd总水头线坡度lgupzJd2d2总水头线坡度亦称水力坡度。不难看出，实际流体；理想流体；均匀流动JJp0J0J三、实际流体恒定总流的伯努利方程实际工程中往往要求解决的是总流问题，现将恒定元流的伯努利方程推广到总流上去QgupzAd221111上式含有三种类型的积分，即QhQgupzWQAdd222222•势能的积分•动能的积分QpzAd渐变流过流断面QguAd22AuQddQpzQgv22AuQdd式中：称为动能修正系数，AvuAAd1310.1~05.10.1•能量损失积分QhQhWWQd'一般流动，工程中常取式中：为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为总流的水头损失Wh将上述三种类型的积分结果代入总流积分式，化简得Whgvpzgvpz222222221111上式即为实际流体恒定总流的伯努利方程适用条件:流体是不可压缩的，流动为恒定的；质量力只有重力；过流断面为渐变流断面；两过流断面间没有能量的输入或输出，否则应进行修正：应用恒定总流的伯努利方程解题时，应注意的问题：•基准面、过流断