第三章环与域

78第三章环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。§1加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：（1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即aG，有00aaa。（2）加群G的元素a的逆元用a表示，叫做a的负元。即有()0aaaa。79利用负元可定义加群的减法运算：()abab。（3）()aa。（4）acbcba。（5）(),()abababab（6）(00()()aaanannannan个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),()manamnamnamnanabnanb请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。加群G的一个非空子集S作成一个子群,abS，有,abaS,abS，有abS。加群G的子群H的陪集表示为：aHHa。二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若1.R对于“+”作成一个加群。2.R对于“。”是封闭的。3.,,abcR，有()()abcabc，即乘法适合结合律。4.,,abcR，有(),()abcabacbcabaca，即乘法对加法适合左（右）分配律。则称R关于“+”与“。”作成一个环。由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。80例1整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。例2数域P上所有n阶方阵作成的集合nnP关于矩阵的加法和乘法作成环。例32{2|}ZkkZ关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数环。问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？答：否。因为关于加法不构成加群。由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）(),()abcabacbcabaca证明：由两个分配律以及负元的定义，有()[()][(()))][((()](0)abcacabccabccabccabab()[()][(()))][((()](0)bcacabccabccabccababa再由（4）得，(),()abcabacbcabaca。（8）000aa证明：0()0,0()0aaaaaaaaaaaaaaaa（9）()()ababab证明：因为()(())00ababaabb()(())00abababba所以()()ababab。81（10）()()abab证明：()()[()]()abababab（11）1212()nnabbbababab1212()nnbbbabababa证明略（12）11111()()mnnmnaabbababab即111()()mnmnijijijijabab。证明略（13）()()()nabanbnab证明略（14）定义：nnaaaa（n是正整数），并称na为a的n次乘方（简称n次方或n次幂）。对任意正整数,mn有,()mnmnmnmnaaaaa证明略由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。§2交换律、单位元、零因子、整环前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P上所有n阶方阵集合nnP关于矩阵82的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。1、交换律因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R里对,abR，未必有abba。如矩阵环nnP就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。若环R的乘法适合交换律（即,abR，有abba），则称环R为交换环。当环R是交换环时，,abR，,0nZn，有()nnnabab例若环R的每一个元素a都适合2aa，则称R是布尔环。证明，布尔环是交换环。证明：,abR，有22,(2)()2aababa，于是有222,42aaabbababa，即,200aabba，即,()aabbabaa，所以abba，故布尔环R是交换环。2、单位元在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z就有乘法单位元1；数域P上n阶83方阵环nnP也有乘法单位元，即单位矩阵E。但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z就没有乘法单位元。若环R存在元素e，使得aR，有eaaea，则称e是R的单位元。此时环R也叫做有单位元环。一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若/,ee都是环R的单位元，则/eeee。例1（85P）在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.在有单位元的环R里，和群一样，规定01()aaR。设R是有单位元1的环，,abR，若1abba，则称()ab是可逆元，()ba是()ab的一个逆元。在有单位元的环R里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z是一个有单位元的环，但除了1外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环nnP中非可逆矩阵就没有逆元。但是如果aR有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若a有两个逆元b和/b，则////1()()1bbbabbabbb。当a是可逆元时，其唯一的逆元记作1a。并规定1()nnaa（n是正整数）这样规定以后，当a是可逆元时84110()nnnaaananan是正整数是负整数公式,()mnmnmnmnaaaaa对任何整数,mn都成立。3、零因子前面在讨论环R的运算性质时，曾有结论000aa，即当环R中的两个元素,ab中有一个是零元时，0ab。那么，反过来当0ab时，是否也有0a或0b呢？结论是在一般的环里是不成立的。例2（86P）在模n剩余类集合{[0],[1],,[1]}nZn中，我们在第一章定义了加法和乘法：[][][],[][][]([],[])nabababababZ并在第二章证明了nZ关于加法构成加群。又因为([][])[][][][()][()][][][]([][])abcabcabcabcabcabc[]([][])[][][()][][][][][][][]abcabcabcabacabacabac([][])[][][][()][][][][][][][]bcabcabcabacabacabaca所以nZ关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模n剩余类环，它有单位元[1]。当(1)n不是素数时，(1,)nababn，则|,|nanb，于是在nZ85中[][0],[][0]ab，而[][][][0]abab，这里[0]是nZ的零元素。定义若环R中两个非零元,ab，使得0ab，则称a是环R的左零因子，b是环R的右零因子。注：左，右零因子统称零因子。若R是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z就没有零因子。显然，,abR，由0ab可推出0a或0b当且仅当环R没有零因子。例3设[]naZ，则[]a不是nZ零因子(,)1an。证明：（）因为(,)1an，所以存在,pqZ，使得1paqn。[]nbZ，若[][][0]ab，则由pabqnbb，有[][][][][][][][][][0][][0][][0]bpabqnbpabqnbpqb，所以[]a不是nZ零因子。（）若(,)1and，则nZd且0nnd，所以nd是nZ中非零元，但[][][0][0]nnaaaaannddddd与[]a不是nZ零因子矛盾，所以1d，即(,)1an。例4（88P）定理若环R没有零因子，则0,aabacbc（左消去律）0,abacabc（右消去律）86成立。反之，若环R里有一个消去律成立，则环R没有零因子。证明：若环R没有零因子，则由0,aabac有0,()0aabc于是0bc，从而bc。同样可证右消去律成立。若在环R里左消去律成立，则当0ab时，由00aba及0a，有0b，故环R没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因子。推论在环R中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都成立。4、整环以上我们给出了一个环R的乘法运算可能适合的三个附加条件：交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。定义若环R适合以下条件：1.乘法适合交换律（即,,abRabba）；2.R有单位元1（即,11aRaaa）；3.R没有零因子（即,,000abRabab或）。则称R是一个整环。即，有单位元无零因子的交换环叫做整环。例如，整数环Z是整环。87P89、5.证明{2|,}RababZ，显然R是非空集合。2,2,2abcdefR，有①(2)(2)()()2abcdacbdR，即R对加法封闭。②[(2)(2)](2)abcdef(2)[(2)(2)]abcdef即加法适合结合律。③存在0002R，使得0(2)(2)02ababab所以0是R的零元。④(2)(2)(2)(2)0abababab，所以2ab的负元是2ab，即(2)2abab。⑤(2)(2)(2)(2)abcdcdab，即加法适合交换律。由①——⑤可知，R关于加法构成群。⑥(2)(2)(2)()2abcdacbdadbcR，即R对乘法封闭。⑦[(2)(2)](2)abcdef(2)[(2)(2)]abcdef即乘法适合结合律。⑧(2)[(2)(2)]abcdef(2)(2)(2)(2)abcdabef[(2)(2)](2)cdefab(2)(2)(2)(2)cdabefab即乘法对加法适合分配律。88由①——⑧可知，R关