第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换1()ijrr对调两行，记作。20()ikrk以数乘以某一行的所有元素，记作。3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换,且类型相同。矩阵等价ABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。等价关系的性质（1）反身性A~A2A~B,B~A;（）对称性若则3A~B,B~C,A~C（）传递性若则。（课本P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如rmnEOFOO的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质设A与B为m×n矩阵，那么(1);rABmPPAB存在阶可逆矩阵，使(2)~;cABnQAQB存在阶可逆矩阵，使(3)P;ABmPnQAQB存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A是一个m×n矩阵，则（1）对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；~;rABmPPAB即存在阶可逆矩阵，使（2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；即~;cABnQAQB存在阶可逆矩阵，使(3)~P;ABmPnQAQB存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使（4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,llPPPAPPP使。（5）~rAAE可逆的充分必要条件是。（课本P？）初等变换的应用（1）求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换或1AEEA初等列变换。（2）求A-1B：A(,)~(,),rABEP即1(|)|ABEAB行，则P=A-1B。或1EABBA初等列变换.第二节矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵mnA，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）矩阵的秩在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.说明1.矩阵Am×n，则R(A)≤min{m,n};2.R(A)=R(AT);3.R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;4.R(A)≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵ijmnAa，若()RAm，称A为行满秩矩阵；若()RAn，称A为列满秩矩阵；,(),AnRAnA若为阶方阵且则称为满秩矩阵。()nARAn若阶方阵满秩，即0A；1A必存在；A为非奇异阵；,~.nnAEAE必能化为单位阵即矩阵秩的求法定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A～B，则R(A)=R(B)。矩阵Am×n，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A的秩。（证明课本P？）推论()()PQRPAQRA若、可逆，则（课本P？）矩阵秩的性质总结(1)0()min{,}mnRAmn(2)()()TRARA(3)~,ABRARB若则()()PQRPAQRA(4)若、可逆，则(5)max{(),()}(,)()()()(,)()1.RARBRABRARBBbRARARAb特别当为非零列向量时，有(6)()()()RABRARB(7)()min{(),()}.RABRARB(8),()().mnnlABORARBn若则(9)AB=OAB=O设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）第三节线性方程组的解线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容定理2n元齐次线性方程组Ax=0（1）R(A)=nAx=0有唯一解，零解（2）R(A)nAx=0有非零解.定理3n元非齐次线性方程组Axb（1）无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R（2）有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)nR（3）有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)nR（证明课本P71）基础解系齐次线性方程组0Ax的通解具有形式1122xcc(c1,c2为任意常数)，称通解式112212,xcccc为任意常数中向量12,构成该齐次线性方程组的基础解系。线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n－R(A)，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。非齐次线性方程组：将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。非齐次线性方程组解的通解具有形式*1122xcc(c1,c2为任意常数)，不带参数部分*是非齐次方程组的一个解；带参数部分1122cc的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。定理矩阵方程AX＝B有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B)定理,()min{(),()}ABCRCRARB设则