第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、矩阵的初等变换和初等矩阵1.初等变换的定义1)Kri或kci，k≠0；初等倍乘变换2)Ri+krj或ci+kcj；初等倍加变换3)Ri-rj，ci-cj；初等对换变换2.初等矩阵定义：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。即一个矩阵仅做一次初等倍乘变换或仅做一次初等倍加变换或仅做一次初等对换变换。B=[2−1−11211−2144−62−2436−979]～[11−2142−1−1122−31−12361979]～[11−21402−2200−55−3−603−34−3]～[11−21401−1100002−60001−3]～[11−21401−1100001−300000]～[10−10401−1030001−300000]形如AP=F或PA=F，其中F是A的最简行矩阵，化法是（A,E）～（F，P）例1：设A=[2−1−111−24−62]的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F。解：用上述方法解此题（A，E）=[2−1−110011−20104−62001]～[11−20100−331−200−44−201]～[10−1−33101−13−2−100010−8−3]故得：F=[10−101−1000]，P=[−3313−2−110−8−3]二、矩阵的秩通常用R或r表示矩阵的秩；如A的秩是2可表示为R(A)=r｜A｜=2相似矩阵：定义：存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=倍，则称矩阵A与B相似即A～B。矩阵的一些最基本的性质：若A～B，则R(A)=R(B)0≤R(Am*n)≤min{m,n}R(AT)=R(A)若PQ可逆，则R(PAQ)=R(A)Max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B=b为非零列向量时有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1R(A+B)≤R(A)+R(B)r(AB)≤Min{r(A),r(B)}A是m*n矩阵，r(ATA)=r(A)A是m*n矩阵,B是n*p矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤若r(Am*n)=n,则r(A*B)=B若r(Bn*s)=n,则r(A*B)=r(A)r(A*)=n,r(A)=n1,r(A)=n-10,r(A)n-1规定零矩阵的秩为0设AB=0，若A为列满秩矩阵，则B=0，R(B)=0非零子式K阶子式矩阵A=(aij)m*n的任意k个行和k个列的交点上的k2个元素按原顺序排列成k阶行列式|ai1j1ai1j2…ai1jkai2j1ai2j2…ai2jk........aikj1aikj2…aikjk|称为A的K阶子式(其中k=1,2，…,min{m,n})矩阵的秩：矩阵A中存在（至少一个）R阶子式不为0，而所有r+1阶子式全为零（若存在），则称矩阵的秩为r，记为r(A)=r，即非零子式的最高阶数三、线性方程组的解：定理：对于n元线性方程组AX=bi.无解的充要条件：R(A)R(A,b);ii.有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n；iii.有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)n;若解之x1=-b11Xr+1-…--b1.n-rXn+d1X2=-b21Xr+1-…--b2.n-rXn+d2…..Xr=-br1Xr+1-…--br.n-rXn+dr令自由未知数Xr+1=c,….Xn=Cn-r即得[X1…XrXr+1…Xn]=[−bnC1−⋯−b1.n−rCn−r+d1…−br1C1−⋯−br,n−rCn−r+drC1…Cn−r]=C1[−bn…−b(r.n−r)1…1]+…+C1[−b(1.n−r)…−b(r.n−r)0…1]+[d1…dr0…n]其中C1…Cn-r为任意常数例2：求解齐次线性方程组：X1+2X2+2X3+X4=02X1+X2-2X3-2X4=0X1-X2-4X3-3X4=0解：对系数矩阵A施行初等行变换化为最简行矩阵A=[122121−2−21−1−4−3]～[10−2−53012430000]即得与原方程组同解的方程组X1-2X2-5/3X4=0X1=2X3+5/3X4X2+2X3+4/3X4=0X2=-2X3-4/3X4(X3，X4可任意取值)令X3=C1，X4=C2，故通解[X1X2X3X4]=[2C1+53C2−2C1−43C2C1C2]=C1[2−210]+C2[53−4301](其中C1,C2为任意常数)例3求解非齐次线性方程组X1+X2-3X3-X4=13X1-X2-3X3+4X4=4X1+5X2-9X3-8X4=0解：对增广矩阵B进行初等行变换化为最简形B=[11−3−113−1−34415−9−80]～[10−32345401−32−74−1400000]而得：X1=32X3−34X4+54X2=32X3+74X4−14X3=X3X4=X4进而[X1X2X3X4]=C1[323210]+C2[−347401]+[54−1400](其中C1,C2∈R)例4：设有线性方程组：(1+λ)X1+X2+X3=0X1+(1+λ)X2+X3=3X1+X2+(1+λ)X3=λ问：λ取何值时，此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。解：R(A)=R(A,b)=3,故系数矩阵是满秩的，因此｜A｜≠0根据｜A｜≠0可求出方程组有唯一解时λ满足的条件｜A｜=|1+λ1111+λ1111+λ|=(3+λ)λ2≠0得λ≠-3且λ≠0故当λ≠-3且λ≠0时，方程组有唯一解故当λ=0时增广矩阵B=（A,b）=[111011131110]～[111000010000]故R(A)=1,R(B)=R(A,b)=2,无解（定理第一条）当λ=-3时B=[−21101−21311−2−3]～[10−1−101−1−20000]故R(A)=R(B)=23,有无限多解（定理第三条）故通解为[x1x2x3]=C[111]+[−1−20]（C∈R）