第三章系统模型

第三章系统模型系统模型概述结构模型层次分析法模型概念及特征系统模型的分类建模原则及常用方法结构模型概念及特征解析结构模型的建立应用案例第1节系统模型概述一切客观存在的事物及其运动形态称为“实体”（即原型）。为便于实验、分析和预测，总是先把所需研究的系统结构型态或运动形态变成易于考察的形式，即转化为“模型”。1系统模型定义系统模型是对现实系统（实体）的特征及其变化规律的一种模仿、抽象或描述。一、系统模型及其特征系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一方面本质属性的描述，所以同一系统或试题，模型不是唯一的；模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的，这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似或仅为功能的相似。模型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者的结合模型。2系统模型的特征它是现实系统的抽象或模仿；它是由反映系统本质或特征的主要因素构成；它集中体现这些主要因素之间的关系。说明模型的本质、作用及地位本质：利用模型与原型之间某方面的相思关系，在研究过程中用模型来代替原型，通过对于模型的研究得到关于原型的一些信息。作用：①模型本身是人们对客体系统一定程度研究结果的表达。这种表达是简洁的、形式化的。②模型提供了脱离具体内容的逻辑演绎和计算的基础，这会导致对科学规律、理论、原理的发现。③利用模型可以进行“思想”试验。地位：模型的本质决定了它的作用的局限性。它不能代替以客观系统内容的研究，只有在和对客体系统相配合时，模型的作用才能充分发挥。3使用系统模型的必要性系统开发的需要。在开发一个新系统时，系统尚未建立，无法直接实验；经济性考虑。大型复杂系统直接实验价格昂贵；安全性考虑。有些系统直接实验是很危险的，有时根本不允许；时间上考虑。社会、经济、生态系统，惯性大，反应周期长；系统模型易操作，分析结果易于理解。这里介绍按与实体的关系分：1形象模型（实体与比例模型）这种模型保留着实体的外形特征，仅在尺度上成比例的改变。2模拟模型根据相似系统原理，利用一种系统代替或近似描述另一种系统，前者为后者的模拟模型。3数学模型用各种数学符号、数值描述工程、技术、管理、经济等有关因素及它们之间数量关系的模型。包括网络模型、图表模型、逻辑模型和解析模型。二、系统模型的分类现实系统形象模型模拟模型文字模型网络模型图表模型逻辑模型解析模型物理模型数学模型研究的速度变化方便性抽象性现实性建模费用建模时间增加减少系统模型的分类及特征比较1建模的原则（1）现实性：把本质的东西和关系反映进去，非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的真实程度。（2）简明性：模型既要精确，又要简明。（3）适应性：在运算分析方面、适应问题的变化、操作方面等具有适应性。（4）完整性（5）规范性：尽量借鉴标准形式。一般处理原则：力求达到真实性，在真实的基础上达到简明性，最后尽可能达到适应性要求。三、建模的原则及常用方法2建模一般过程（1）明确建模目的和要求；（2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系；（3）选择模型方法；（4）确定模型结构；（5）估计模型参数；（6）模型试运行；（7）对模型进行实验研究；（8）对模型进行必要修正。3常用建模方法直接分析法：对内部结构和特征已经清楚的系统，可利用已知的定律和定理，经过一定的分析和推理，得到系统模型。如线性规划模型、存储模型。数学关系式表达实验法：对内部结构和特征不清楚或不很清楚的系统，如能进行实验观察，可通过实验方法测量其输入和输出，再根据一定的辨识方法，得到系统模型。模拟法统计分析法：系统结构不很清楚，且不允许直接进行实验的系统，可以采用数据收集和统计分析的方法建立系统模型。类似法：建立系统的类似模型。拟合法启发性思考法。设一个质量为m，长度为l的摆，其偏离中心线的角度为θ(θ很小)，θ(t)st:方程的解是以为周期的简谐震动。022mgmldtdGLT2建立单摆简谐运动的类似模型mglθL-C电路，电路中q(t)st:解是以为周期的简谐震动。一一对应模拟。CLLCTqLLCdtqd20122)()(1ttqglLCL-C电路图蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方法。启发性思考法—蒙特卡罗法计算值11在边长为1的的正方形中任意打N个点，并将n个点置于扇形部分，如使点数N足够大，则认为近似等于正方形和扇形面积之比，即：N/n=12/(π×12×1/4)即：π≈4n/N与概率现象本身没有任何关系的问题，也可用概率的方法来解决，是一种“想法的转换”，即启发性思考方法。第2节结构模型（StructureModel）在开发和改造一个系统时，首先需要了解系统中各要素间存在怎样的关系，即了解和掌握系统的结构，即建立系统的结构模型。1结构模型——就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统模型。一结构模型的概念及原理（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统的要素，有向边表示要素间的关系。（2）结构模型是以定性分析为主的模型。（3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行定性与定量分析。结构模型的建模方法很多如关联树（如问题树、目标树、决策树）法、解释结构模型化（ISM）方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。本部分要求大家主要学习和掌握解析结构模型ISM（InterpretStructureModel）方法（规范方法、实用化方法）。S3S1S2S4S5基本性质ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有关问题而开发的一种方法。其特点是把复杂的系统分解为若干子系统或要素，利用人们的实践经验和知识，以及计算机的帮助，最终将系统构造成多级递阶的结构模型。ISM的程序为：组织构造ISM小组（10人左右）设定问题选择系统要素，制定系统明细表。构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。对可达矩阵进行分解，建立结构模型。由结构模型转化为解析结构模型。2解析结构模型原理设定问题、形成意识模型找出影响要素要素关系分析（关系图）建立可达矩阵(M)和缩减矩阵（M/）矩阵层次化处理(ML/)绘制多级递阶有向图建立解释结构模型分析报告比较/F学习初步分析规范分析综合分析ISM方法原理图1有向连接图——由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点和有向边的集合。表示为：G={S，E}2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的直接关系。A中元素3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定路径可以到达的程度。Si经若干路径到达Sj否则二、解析结构模型的建立jijiijsRsRssa,0,101ijr可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。即有A1=A+I再设A2=(A+I)2(用布尔代数运算规则)一般地，通过依此运算后，可得：A1≠A2≠·····≠An-1=An则有R=An-1=(A+I)n-1R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于(n-1)条通道可以到达的程度。对于节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不超过(n-1).例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求邻接矩阵和可达矩阵。有向连接图7154632由此可得邻接矩阵AA的元素全为零的行所对应的节点为汇点。A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开该节点的有向边数。对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入该节点的有向边数。0000010000100000000000110000000100000000010000000A矩阵A的特性建立可以矩阵R。经计算后得：(A+I)1≠(A+I)2=(A+I)3∴R=(A+I)21000011011100000100000111000011110000000110000001R#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=14可达矩阵的分解区域分解π1(S)——将要素分成区域，不同区域的要素相互间是没有关系的。首先将R中的元素划分为可达集和先行集（1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行矩阵元素为1对应的列要素的集合。即：(N为节点集合，rij=1表示Si与Sj关联)1)(ijjirNSSR区域分解（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj列矩阵元素为1所对应的行要素的集合。即：（3）共同集合T——可达集R(Si)与先行集A(Sj)的交集等于先行集A(Sj)的要素集合，即：1)(ijijrNSSA)()()(jjiiSASASRNST（4）确立不同区域任取属于共同集的两要素Su,Sv，若，则Su,Sv属同一区域；若，则Su,Sv属于不同区域。这样运算后的集合称区域分解，可写成：其中M为区域数。)()(vuSRSR)()(vuSRSRPmPPS,,,)(21级间分解π2(P)——将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则划分不同层次。在一个多级结构中，它的最上层要素Si的R(Si)，只能由Si自身和Si的强连通要素组成；同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元，需满足：找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素，依此类推。级间分解)()()(jiiSASRSR级间划分可用下式表示：，其中K为级次若定义：L0=φ，则：其中：分别是由要素组成的子图求得的可达集和先行集。强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素，一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。kLLLP,,,)(212)()()(111110ikjkikkikSRSASRLLLPSL)(),(11jkikSASR110kLLLP强连通划分接例可达矩阵分解（区域划分）I=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)T=A(Sj)R(Si)∩A(Sj)=R(Si)123456711,23,4,5,64,5,654,5,61,2,71,2,72,733,4,63,4,5,63,4,671234,654,673715因为：R(3)∩A(7)=φ，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：7216543211,,,,,,,)(sssssssPPP因为：S1，S5满足：所以，S1，S5分属两区域的最高层次。即；L1={S1，S5}再有N-L0–L1进行第二级分解。接例可达矩阵分解（级间分解）)()()(jiiSASRSRi=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)2346723，4，64，64，62，72，733，4，63，4，67234，64，67该表的最高级，即为可达矩阵的第二级要素L2={2,4,6}由N-L0-L1-L2,得：i=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)37373737该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为：L3={3,7}这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分成三层次，即π2(P)={L1，L2，L3}(强连通划分){4，6}属强连通块。S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图结束以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：原例递阶结构模型与模型建立过程M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）原例的递阶结构模型：案例：人口系统影响总人口增长问题新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对死亡率降低了，国民收入的不断增长，生活水平不断提高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我国人口速度增长过快。为此，成立了各方面人员参加