第三章线性系统时域分析法

比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。0tc(t)1.0tc(t)0TT3.2.3单位脉冲响应[R(s)=1]11)(TssC它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以g(t)标志。1g()()tTtCteT脉冲T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。线性定常系统的重要性质)()()(sRsGsCB)()()(])([)()(1ssCssRsGdttdrLsGsCBBdttdctc)()(12.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。)(1)()(])([)()(2sCsssRsGdttrLsGsCBBdttyty)()(21.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。)()(trdtdtr斜坡阶跃)()(trdtdtr阶跃脉冲)()(tCdtdtC斜坡阶跃　)()(tCdtdtC阶跃脉冲tttttt121112求导积分求导积分求导积分各函数间关系：3.5线性系统的稳定性分析稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。3.5.1稳定的概念和定义如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。3.5.2线性系统的稳定条件线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)。如果当t→∞时，Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有0)(limtCnt那么，线性系统是稳定的。不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为qirkkdktktpintteBeAtCkki)(0)sin()(01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsMsnnnnmmmm线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0a2a4…a1a3a5…b1b2b3…┋…ansnsn−1sn−2┋s1s0130211aaaaab150412aaaaab劳斯表的构造：0122110nnnnnasasasasasD)(2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-3设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s0135246155例3-4系统的特征方程为D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。321b∵ε→0+时，b10，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个正根，不稳定。用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/36206会得到相同的判断结果例3-5设某线性系统的闭环特征方程为D(s)=s4+s33s2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0132112200由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0132112242F(s)=2s2+2F(s)=4s（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-6已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0K6s3s2s1s0123K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)K﹣+（3）确定系统的相对稳定性例3-7检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？解：1)劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。2)令s1=s1坐标平移，得新特征方程为2s13+4s12s11=0s3s2s1s021310412.24-1sS1劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。s13s12s11s1021410.513.稳态误差ess定义：)(lim)(lim0sssEteetss例3-8设单位反馈控制系统的开环传函为：TssG1)(TssTssGssRsEe/1/111)(11)()()((1)当r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：31/1)(sTsssEsTsssEessss1/11lim)(lim00试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sinωt时，控制系统的稳态误差。解：终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。解法二：TsTsTsTsTsssE/11/1)(2223e(t)=T(t－T)+T2e－t/T)(lim)(teeesstssss(2)当r(t)=1(t)R(s)=1/ssTsssRsGsE1/1)()(11)(0)(lim0ssEesss(3)当r(t)=tR(s)=1/s221/1)(sTsssETsTsssEsessss1/1lim)(lim00221)(ssssET222222122111scssTTsTTTtTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22222222)sin(cos1)(22tTtTTtess0)(sse)sin(122tTTTtg11(4)当r(t)=sinωtR(s)=ω/(s2+ω2)终值定理的条件不成立！终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。3.6.2给定作用下的稳态误差计算不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：υ=0称为0型系统；υ=1称为Ⅰ型系统；υ=2称为Ⅱ型系统。等等在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：)()(11)()()(sRsGsRssEke)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk1.阶跃输入作用下的稳态误差)()(lim1)()(11lim00sHsGAsAsHsGsessss令)()(lim0sHsGKsp称为系统的静态位置误差系数pssKAe10型系统：Kp=Kess=A/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统：Kp=∞ess=0)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk)()(tAltr第七节控制系统的稳态误差三、给定作用下的稳态误差：1、阶跃输入•由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。•为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大K值。•若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于I型。2.单位斜坡输入作用下的稳态误差)()(lim)()(1lim020sHssGBsBsHsGsessss令100lim)()(limvssvsKsHssGK静态速度误差系数vssKBe0型系统：Kv=0ess=∞，0型系统无法跟踪斜坡输入Ⅰ型系统：Kv=Kess=B/K，有差跟踪Ⅱ型及Ⅱ型以上系统：Kv=∞ess=0，无差跟踪)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk)()(tBtltr3.加速度输入作用下的稳态误差)()(lim)()(1lim2030sHsGsCsCsHsGsessss令2020lim)()(limvssasKsHsGsK静态加速度误差系数assKCe0型系统：Ka=0ess=∞Ⅰ型系统：Ka=0ess=∞Ⅱ型系统：Ka=Kess=C/KⅢ型及Ⅲ型以上系统：Ka=∞ess=0)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk2/)()(2tlCttr阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r(t)=Ct2/2r(t)=Btr(t)=A·1(t)静态误差系数系统型别ess=C/Kaess=B/Kvess=A/(1+Kp)KpKvKaυ∞∞A/(1+K)K000∞C/K00∞∞K2B/K0∞K01例3-9已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=4+6t+3t2，试分别求出两个系统的稳态误差。解：图（a），Ⅰ型系统Kp=∞，Kv=10/4，Ka=0avpssKKKe66141图（b），Ⅱ型系统Kp=∞，Kv=∞，Ka=10/44.24/1066142sse10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+3.6.3扰动作用下的稳态误差所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。例3-10控制系统如图G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N