第三章线性系统的能控性.

第三章线性系统的能控性和能观测性1.能控性定义2.连续时间系统的能控性判定3.连续时间系统的能观测性定义及判据4.对偶性原理5.线性离散时间系统的能控性和能观测性6.用MATLAB对能控性和能观测性进行检测7.线性系统的状态空间结构8.单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型9.结构分解10.传递函数阵的零极对消与可控可观性第一节能控性定义能控性研究系统的内部变量—状态是否可以由输入影响；能观测性体现了系统状态的运动是否可以由输出来完全反应，换而言之能控性反应的是系统输入对状态的控制能力，而能观测性是输出对状态的反应能力。直观的讨论严格定义一．直观的讨论经典控制论:，就可以控制0sWyu现代控制理论：①(u,y)多对多控制，虽然，但是，如果某一行为零，该输出不可控；若两行相等，则两输出具有一样的控制效果，不能任意控制。②(x,u)多对多控制，状态能控性：u对x的支配能力；状态能观测性：y反映x的能力susWsy0sWsW支配能力的三种表达方法：在有限时间内，找到u(t)，使另一态　　联合某态某态　　　　能达　　　　能控某态00例1．给定系统如下：状态变量x1和x2可以通过选择输入u而使得他从初始点转移到原点。因而系统是完全能控的，但输出只反应出状态x2，状态x1与输出既无直接关系也无间接关系，所以是不完全能观测的。22211654xyuxxuxx例2u和x2的联系被切断，有联系是可控性的必要条件，是否充分？而且采用状态反馈进行控制时，模态e-t可以改变，模态e-2t不可改变。uxx012001例3．实际电路，两个电容的端电压x1和x2是状态变量，输入u可以使状态转移到任意目标值，但是不能将状态分别转移到不同的目标值，也就是说无论输入取为何种形式，对所有的t0都有x1=x2，这就表明该电路系统是不完全能控的。31RC2112A11BttttttttAteeeeeeeee333321问题：两个状态与u均有联系，是否都可控？回答：有联系不是充分条件，两通道作用可以抵消。坐标变换后更容易理解：是x转过45°x~212121~~111122~~45cos45sin45sin45cosxxxxxx111122T1111221T即可得：3001~1ATTA02~1BTB2211~3~2~~xxuxx2~xu在新坐标下，系统状态描述为：显然，的通道被截断，系统是不完全能控的。二严格定义定义1：对于线性时变系统如果对于非零初始状态X0,，都存在某一时刻和一个无约束的容许控制，使得状态由初始点转移到t1时刻的原点，则称此初始状态x0在t0时刻是能控的。JtutBxtAx,)()(Jt0011,ttJt],[),(10ttttu定义2：如果状态空间中所有的非零状态在t0时刻都是能控的，那么就称系统在t0时刻是完全能控的。定义3：取定初始时刻t0，如果存在一个或一些非零状态在t0时刻是不能控，那么就称系统在t0时刻是不完全能控的。注释：1.上述定义中，只要求能够找到这样的控制输入u，使得t0时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状态空间中的坐标系原点，而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制，这就是说能控性是表征系统状态运动的一个定性的特性2.无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯一的条件，具体的说就是要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。3.上述定义中都是相对于J中的一个取定的初始时刻t0而言的，这对于时变系统是非常重要的，因为时变系统的能控性与初始时刻的选择有很大的关系。而对于定常系统来讲，其能控性与初始时刻t0的选择无关。4.上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态，如果改成由零状态转移到非零状态，就称之为系统状态是能达的。对于线性连续定常系统，其能控性和能达性是等价的，而对于离散系统和时变系统，二者严格来讲是不等价的。5.系统为不完全能控的情况只是一种奇异的情况。系统中组成元件的参数值发生微小变动，都可能使系统变成能控的，就拿上述实际电路来讲，如果其中一个电阻值发生微小变化，而使电路对称性破坏的话，此电路就由不完全能控变成了完全能控的。所以说对一个实际的系统，系统是完全能控的概率几乎为1，也就是说，如果随机地选取系数矩阵A和B，那么系统几乎就是完全能控的。第二节能控性判定预备知识时间函数的线性无关定义及其判别定理线性时变系统的能控性判定：格拉姆矩阵判据，秩判据线性定常系统的能控性判定格拉姆矩阵判据，频域判据，秩判据，PBH秩判据，PBH特征向量判据，约当标准型判据输出能控性一预备知识时间函数的线性无关性假定是一组复值时间函数，如果在复数域C中可以找到这一组不全为零的复数，使得那么就称这组复值函数在区间[t0,t1]内是线性相关的，否则就称他们在[t0,t1]内是线性无关。)(),...,(),(21tftftfnn,...,,21],[,0)(101ttttfiini注意：应明确时间区域，因为在不同的时间段内，这组时间函数的线性相关或线性无关性将会发生改变。例如[-1,0]线性相关[0,1]线性相关[-1,1]线性无关]1,0[]0,1[)(]1,1[,)(21tttttftttf时间向量的线性无关性：假设是一组p维的复值函数行向量，i=1,2,…,n，如果在复数域中存在一组不全为零的复数，使得：那么就称这组复值函数行向量在区间[t0,t1]内是线性相关的，否则就称他们在[t0,t1]内是线性无关。注意：上式中的零应是P维的行向量。)(tfin,...,,21],[,0)(101ttttfiini定理：假设是一组定义在区间[t0,t1]上的p维复值函数行向量，i=1,2,…,n，F是以他们为行构成的n*P阶矩阵，定义F（t）的格拉姆矩阵为则是线性无关的充分必要条件是常值格拉姆矩阵W（t0，t1）是非奇异的。复值函数向量线性无关性判定：)(tfidttFtFttWttT10)()(),(10)(tfi二线性时变系统的能控性判据1．格拉姆矩阵判据：定理1：线性时变系统在t0时刻完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻，使得格拉姆矩阵是非奇异的。dttttBtBttttWttTTc10),()()(),(),(0010Jt1注：上述两个定理是等价的定理2：线性时变系统在t0时刻完全能控的充分必要条件是n*m阶矩阵的n行在时间域[t0,t1]内是线性无关的)(),(0tBtt由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：根据运动分析，系统的状态响应为对于能控系统总可以找到t1时刻及其作用在[t0,t1]上的容许控制，使得系统在t1时刻转移到零点，即ttduBtxtttx0)()(),(),()(00],t[tu10XxduBtxduBtttxduBtxtttxtttttt0001011010011,)()(),()()(),(),()()(),(),()(0101010根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的逆必定存在，于是就可以这样选取控制输入：01010],[),()](),([10xttWtBttucTtt解释：无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处，都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵方式选取。一般来说，如果系统是能控的，能够把系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种，这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它的耗能是最小的。2．秩判据定理：A(t)和B(t)是(n－1)阶连续可微的，则在t0时刻完全能控的充分条件是存在这样一个时刻t1，使得：其中：ntMtMtMrankn)()()(111110)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtBtMnnn举例：解：5.0,20),(11000000102tJtuxtttxtttttttttttMdtdtMtAtMttttttMdtdtMtAtMtBtM2122101000001)()()()(1000110000001)()()()(110)()(4222112220010所以上述时变系统在t0时刻是完全能控的JtttttttranktMtMtMrank,32111210)()()(422210则三线性定常系统的能控性判定1．格拉姆矩阵判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵是非奇异的dteBBetWttATAtcT101),0(注意：和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数e－At，而当A的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。2.频域判据线性定常系统完全能控行无关行无关行无关BeAtBeAtBAsI1L行相关的例子：1°相关，，不可控2°相关，u对x1与x2作用相等，，只有子空间x1=x2可控3°无关，则u可对x1及x2分别作用*01BAsI01x**1BAsIuuxx21***1BAsI3．秩判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵为系统的能控性判别阵，该结论完全是由线性定常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。nBABAABBrankn12BABAABBQnc124．PBH秩判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值，均有下式成立：即是左互质的。nii,...,2,1,复数域或CsnBAsIrankninBAIranki,,...,2,1,BAsI和5．PBH特征向量判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量，即对A的任一特征值使同时满足的特征向量i0,BATTiT0此判据与其他能控性判据是完全等价的由PBH判据可知，如果系统是不完全能控的，，也就是说该矩阵的行是线性相关的，那么必定存在一个非零的列向量，使得即：这正是PBH特征向量判据的结论。nBAIranki0BAIiT00)(BAAITiTTiTPBH秩判据与PBH特征向量判据的关系秩判据与PBH特征向量判据的关系如果系统是不完全能控的，则存在一个非零的列向量满足：0002ABABBABBABBTiiTTTiiTTT01BAABBnT因为是个非零的列向量，那么必定有即能控性判别矩阵是奇异的，根据秩判据可知系统不完全能控，由此可以看出PBH特征向量判据与秩