第三章补遗矩阵的初等变换和线性方程组

分块矩阵1、加法：把两个矩阵用相同方式分成几块后，仍然满足矩阵的加法。2、乘法：两个矩阵乘法的分块情况3、转置：一个分块矩阵转置后的情况srsrAAAAA1111，则TsrTrTsTTAAAAA1111。这个公式在计算具体数字的题时并没有意义，因为矩阵直接可以得到转置就行了。但是如果是m行n列的某些证明，则就会有用了。4、若A可分成如下形式：sAOOAA1，该形式的分块矩阵称为分块对角矩阵。5、行列式的值：分块对角矩阵行列式的值sAAAA21.6、逆：分块对角矩阵行列式的逆。若分块对角矩阵的行列式值0A，则说明各个0iA，因此1-1-1-1sAOOAA初等行变换1、初等行变换1AEEAr的原理注：BAr在书写时要写成A~B，表示A与B相似，意为A经过初等行变换可以化成B。这种求法根据的定理是61页的定理：设A，B是m*n的矩阵，则BAr的充分必要条件是存在m阶矩阵P；使得PA=B。这个定理说明，若存在可逆矩阵P，使得PA=B，那么BAr，反之亦然。根据这个定理，若A存在逆，如何求呢？设PA=B，如果B=E，则P就是A的逆。现在要求P。先求一般的情况（B不一定是E时）P化成E，则B化成A若),(),(,PBPEPAEAPPPEBPA即：A初等行变换成E时，E自然的就变成了P即A的逆。矩阵的秩性质1、矩阵做行列式变换和初等行变换有什么关系？答：初等行变换后的行列式的值一定是行列式的值放大或缩小多少倍。这就说明，如果该矩阵行列式的值非零，即为非奇异矩阵，则用初等行变换后的矩阵一定是满秩的。即，初等行变换后行列式的值虽然和原矩阵的行列式的值不同，但是无论怎么变，非零与否却是不变的。原行列式不满秩。这些都是相服相通的。矩阵可逆、矩阵满秩、矩阵行列式不等于零、矩阵行（列）向量组线性无关、矩阵非奇异、以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解。。这些说法都是等价的，即可以互推的！2、由于R(A)是A的非零子式的最高阶数，因此若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R(A)=s；若A中所有t阶子式全为0，则R(A)t显然若A为m*n矩阵，则0=R(A)=min(m,n)由于行列式与其转置行列式相等，因此A的转置行列式的子式与A的子式对应相等，故有)()(ArArT对于n阶方阵A，由于A的n阶子式只有一个|A|，因此当|A|≠0时R(A)=n，当|A|=0时R(A)n。可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。对矩阵进行一次初等行变换等于左乘一个初等矩阵。对矩阵进行一次初等列变换等于右乘一个初等矩阵，因初等变换不改变子式为0与否的情况，因此初等变换秩不变。而初等变换等于左乘或右乘多个初等矩阵，多个初等矩阵相乘结果一定是一个可逆矩阵。因此，矩阵左乘或右乘可逆矩阵就等于做了一定的初等变换，结果的秩是不变的。即)()(，则~BrArBA；若P,Q可逆，则)()(ArPAQr都是一个原理。3、)()(),())(),(max(BrArBArBrArR(A)+R(B)-n=R(AB)=min{R(A),R(B)}R(A+B)=R(A,B)=R(A)+R(B)方程组解的性质例：非齐次线性方程组1)5(4224)5(2122)2(321321321xxxxxxxxx，求是何值时，此方程组无解，有唯一解，有无穷解？并在无穷解时求其通解。提示：如果进行初等行变换成阶梯式很难做，不妨用行列式的性质来做。