第三章连续信号的频谱

3.2-1信号与系统3.1应用引例电子音乐信号的合成与选择我国于1970年4月24日发射的“东方红一号”人造卫星向地球发回的电子音乐信号由9个不同频率的音节组成。这些信号是被调制到20.009MHz的载波频率fa上向地球发射的，合理地选择谐振电路的通频带，就可以选出音乐信号。图1为其原理图。图1选频原理end3.2-2信号与系统1：基波角频率a0：直流分量，an：余弦幅度，bn：正弦幅度，An：谐波幅度，一、周期信号分解为三角级数3.2周期信号的分解与合成)π2(T11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf1n1n0)cos(ntnAaTttfTa00d)(1TnttntfTa01dcos)(2TnttntfTb01dsin)(22n2nbaAn非正弦周期信号3.2-3信号与系统图1锯齿波的三角级数合成3.2-4信号与系统图24种非正弦周期信号的分解3.2-5信号与系统例如图所示的周期方波，试求其傅里叶级数。解由于这里f(t)是奇函数，故有0d)(100TttfTa0dcos)(2221TTnttntfTa2011201221cos4dsin4dsin)(2TTTTnntnTAttnATttntfTb),5,3,1(π4nnA),6,4,2(0n所以f(t)的傅里叶级数为)5sin513sin31(sinπ4)(111tttAtf图23.2-6信号与系统周期方波的分解与合成：图33.2-7信号与系统周期三角波的分解与合成：图4动画5：谐波分解3.2-8信号与系统周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示()ftt10.50.5TTtft1TO)cos()2sin(12)(111tnnnTtfn)sin(1121)(11tnntfn3.2-9信号与系统方波脉冲中取到5次谐波合成取直流到11次谐波合成取到37次谐波合成3.2-10信号与系统二、周期信号的复指数表示设tAtAtAatf13121103cos2coscos)(由于2eecosjjxxx则)e(e2)e(e2)(1111j2j22jj10ttttAAatf3,2,1e21jn0nAantn，3.2-11信号与系统ntnFtf1jne)(由所以2T2T-jnnde)(121ttfTAFtn2T2Tjnnnde)(2j1-tnttfTbaA令，则2nn00AFaF，3.2-12信号与系统例对于周期方波，试求其指数表示式。解2T2T-jnde)(11ttfTFtn)5,3,1(j2de22T0j1nnAtATtn000aF所以)5,3,1(ej2A)(1jnntfntn图53.2-13信号与系统例设有周期冲激信号T(t)，求其指数表示式。解因nnTtt)()(T则TttTFtn1de)(12T2T-jn1所以ntnTt1jTe1)(即T(t)是无穷多个复指数的累加和。end图63.2-14信号与系统如图1方波：有图2频谱图一、频谱图3.3周期信号的频谱图2)5sin513sin31(sinπ4)(111tttAtf)2π3cos(31)2πcos(π411ttA图13.2-15信号与系统周期信号：一、傅里叶变换3.4非周期信号的频谱ttfTFTTtnde)(122jn1ntnFtf1jne)(从而有ttfTFnFTTtnde)()(22jn113.2-16信号与系统当T，1d，n1，故反之ttfFtde)()(jf(t)的傅氏变换（频谱函数）傅氏反变换de)(π21)(jtFtf变换对简记：f(t)F()3.2-17信号与系统二、常用信号的频谱函数门函数：)2(Sa)2()2sin(de)(22-jtFt21t20t)(tG图13.2-18信号与系统冲激函数(t)：1de)()(-jttFt即：1)(t图23.2-19信号与系统直流信号：)(π21图33.2-20信号与系统指数信号：j1de)(0)j(tFt即：j1)(εett)0,0(e)(ttft图43.2-21信号与系统阶跃信号：j1)(π)(F图53.2-22信号与系统3.2-23信号与系统结论：周期信号的频谱为离散谱，非周期信号的频谱为连续谱；f(t)为实偶函数，F()也为实偶函数；f(t)为奇函数，F()为纯虚函数；f(t)为非奇非偶函数，F()为复函数；若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到无限；信号的能量主要集中在低频分量；信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频带越宽。end3.2-24信号与系统1、线性3.5傅里叶变换的性质与应用如符号函数)(π2]j1)(π[21)(2)sgn(tt)()(),()(2211FtfFtf若)()()()(22112211FaFatfatfa则j23.2-25信号与系统2、脉冲展缩与频带变化（尺度变换）)()(Ftf若)(1)(aFaatf则如a=1，则f(t)F(ω)3.2-26信号与系统时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。图13.2-27信号与系统不同脉冲宽度的仿真例：图23.2-28信号与系统3、信号的延时与相位移动（延时特性）即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。)()(Ftf若0j0)()(teFttf则因为)(je)()(FF故])(j[j00e)(e)(ttFF3.2-29信号与系统图33.2-30信号与系统图43.2-31信号与系统图5例设信号f(t)由三个矩形脉冲组成，其脉冲相邻间隔T与脉宽之比T/=3，如图5(a)所示，试求其频谱函数F()。3.2-32信号与系统解该信号为非周期信号。由于)()()()(τττTtGTtGtGtf由时移性质，得)2sin()23sin()2Sa()cos21)(2Sa()ee1)(2Sa()(jjTTTFT-T3.2-33信号与系统4、信号的调制与频谱搬移（调制定理）)()(Ftf若)()(0j0Fetft则)]()([21cos)(000FFttf图63.2-34信号与系统例如ttgtf0τacos)()(则2)(Sa2)(Sa2)(00aF图73.2-35信号与系统ntnFtf1jne)(则5、周期信号的傅氏变换]e[)(1jnntnFFF)(π21nnFn3.2-36信号与系统图8正、余弦信号的频谱：)]()([jsin)]()([cos000000tt3.2-37信号与系统图9对于周期矩形脉冲，其傅里叶变换nnnTF)-()2Sa(2)(113.2-38信号与系统图1)2(Sa)2Sa()2Sa()(22F6、时域卷积定理例如)()()(ττtGtGtf)()(),()(2211FtfFtf设)()()()(2121FFtftf则则3.2-39信号与系统应用：系统响应的频谱)()()()()()(HFYthtfty故-jde)()(tthHt因即系统响应的频谱等于输入信号频谱F()与系统频率特性H()的乘积。3.2-40信号与系统7、频域卷积定理)(*)(π21)()(2121FFtftf例如函数f与余弦相乘时，有以下频域卷积3.2-41信号与系统信号能量*注意：理解以下两个结果的含义ttfFFd)()0()(0d)(π21d)(22Fttfend3.2-42信号与系统3.6应用举例1.超外差调幅收音机系统原理及框图3.2-43信号与系统2、雷达测距系统及信号的频谱