第三章连续动态系统

1第三章连续动态系统讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程—状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。例，离散与连续的形象解释。1．连续动态系统的数学描述在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。1.1线性动态系统用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次性（常数项直接提取到函数外）。例，判断axy与baxy是否属于线性操作。线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即nnxaxax11111nnnxnnxaxax1矩阵形式：AXX据ija的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。1.2非线性动态方程如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。线性函数本质上只有一种，即：axy不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。非线性连续系统的动力学方程一般形式如下：),,;,,(1111mnccxxfx),,;,,(1122mnccxxfx),,;,,(11mnnnccxxfx矩阵形式：),(CXFXnff,,1中至少应有一个为非线性。),,(1nxx称为状态变量，),,(1mcc称为控制参量。动力学方程是动力学中的术语，在系统科学中，通常称为演化方程。据演化方程对系统分类，系统分为线性与非线性、自由与强迫系统（是否包含外来作用，)(),(tCXFX）、自治与非自治系统（是否明显包含时间变量，),,(tCXFX）。非自治系统的两个特例，一是变系数系统，二是强迫系统。强迫系统、非自治系统分别可以转化自由系统、自治系统，所以为本章主要讨论自由、自治系统。有了演化方程，有三种方法研究非线性系统的行为特性：①解析方法一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例)(xf具有适当形式时，用分离变量法获得解析方程。②几何方法2分析系统的定性性质，从方程结构和参数中直接提取系统的定性信息。③数值计算方法使用计算机进行数值计算，求得方程的近似解。例，有关混沌动力学的几个重大发现，都是通过计算机实验得到的。3）系统科学是关于非线性的科学，但线性系统理论仍是系统科学中不可忽视的内容？这不仅因为线性理论的成熟和体系化，还在于线性理论是非线性理论必要的基础性知识准备，例构造非线性方程的解往往要利用线性方程的解，并且非线性可做到线性化处理：①非线性因素微弱，允许忽略不计，演化方程近似满足叠加原理；②非线性系统的局部线性化处理，关心系统的局部性质，非线性模型又满足连续性和光滑性要求。线性化的实质是忽略非线性因素，而非线性因素正是系统产生多样性、奇异性和复杂性的根源，线性化所“化”掉的恰好是这种根源。2．轨道、暂态、定态线性动态系统只要求出方程的解析解，从给定的初始条件出发，既可预见系统的一切未来状态，也能回溯过去的所有状态，达到对系统行为特性的全面而定量的把握。但非线性动力学方程能够获得解析解的情形极少，求解析解不是处理非线性系统的普适方法，对于一般非线性系统，可行的方法是定性描述，即在状态空间和参量空间中用几何方法等定性手段来研究。2.1状态空间、参量空间由系统所有状态构成的集合，称为系统的状态空间又称相空间。设系统有n个独立状态变量，记做nxxx,,,21，以状态变量为轴支撑起来的几何空间，就是系统的状态空间，每一组具体的数值),,,(21nxxx代表系统的一个具体状态或相，n是状态空间的维数，n可以取任何正整数，例3,2,1n，其状态空间可以画出来，4维以上的属于抽象空间，n是决定系统行为特性的重要参数。状态空间是在控制参量（常数项）给定的条件下建立的，但控制参量也是可变的。以控制参量mccc,,,21为轴构造的m维空间称为参量空间。参量空间的每个点都对应一个确定的系统，所以在参量空间研究的是演化方程结构相同的无穷多系统构成的系统族，例cxy2或cxxy322。2.2轨道演化方程的每个解代表状态空间的一个点集合，称为一条相轨道。状态在相空间沿轨道运动可以形象地比喻为物理空间的水流，一个解就是一个流。演化方程的解无穷多，空间的轨道亦无穷多。状态空间不是分别研究每个轨道，而是考察全部可能轨道及其分布，从而达到整体把握系统的动态特性。2.3暂态、定态状态空间包含系统的所有可能状态，有关系统动态特性的所有信息都蕴藏于其中，如何提取这些信息，虽然状态空间有无穷多个状态，但在系统学意义上可以划分为很少的几类，它们显示不同性质，代表系统不同动力学行为特性，所以在状态空间研究系统归结为划分不同类型的状态，动态系统有两类可能的状态。①暂态系统在某个时刻可能到达但不借助外力就不能保持或不能回归的状态；②定态系统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态。状态空间几乎全是由暂态点填充的，定态只是其中极其微小的一部分，例：图3-13图3－1系统定态直观例子系统的定性性质是由定态决定的，不同的定态代表不同的定性性质。暂态只是系统为了确立某种定性性质所必须的量的积累。相变：系统从一种定态到其它定态的变化反映的是系统从一种定性性质向另一种定性性质的转变。动态系统有以下几种定态：①平衡态在数学上用不动点来刻划，所有状态变量的导数都为0，状态不再发生变化，表明系统处于平衡运动，即021nxxx②周期态设)(t是演化方程的一个解，满足条件)()(tTt，T为常数，则称)(t是演化方程的一个以T为周期的周期解。周期解由相空间的一条闭曲线表示，代表系统的一条周期轨道，数学上称为极限环，图3-2、图3-3分别表示平面极限环、空间极限环，特点是当t无穷大时附近的相轨道以该闭合曲线为极限。图3-2平面极限图图3-3空间极限图③拟周期态由多个不同周期且周期比为无理数的周期运动叠加在一起形成的复杂运动形式。④混沌态复杂有序运动体制（确定性方程描述的非线性动态系统的一种尚未认识的定态）。定态与状态维数有密切关系。表1定态与状态维数的关系维数1维2维3维状态空间直线或直线段平面复杂定态平衡态平衡、周期态四种定态2.4初态、终态初态：起始时刻的系统状态称为系统的初始状态。终态：当时间趋于无穷大时系统的极限状态，即系统终了时刻到达的状态。研究动态系统，主要关注的是系统的终态。43．稳定性系统不可避免地承受来自环境和系统自身的各种扰动，扰动会使系统的结构、状态、行为有所偏离，小扰动引起的是否为小偏离，出现偏离后系统能否恢复原样，就是稳定性研究要回答的基本问题。系统是稳定性与不稳定性的统一？一个系统的状态空间如果没有任何稳定定态，必定是物理上不可实现的，系统理论无需讨论它。从应用角度看，一个不稳定的系统无法正常运行，无法实现其功能目标。因而是没有用的。从演化角度看，如果一个系统的所有状态在所有条件下都是稳定的，它就没有变化、发展、创新的可能。只有原来的状态、结构、行为模式在一定条件下失去稳定性，系统才有可能向新的结构、状态、行为模式演化，即系统有发展创新的可能，不稳定性在系统演化理论中具有非常积极的建设性作用。例，基因的复制与突变是稳定性与不稳定性的统一。所有生命的遗传因子都储存在细胞核中的DNA上，人类的遗传因子储存在一条长长的由1010个碱基对组成的信息磁带上。在每次细胞分裂期间，所有这些碱基对必须精确复制并传递到下一个细胞时代中。难以想象这项如此复杂、看上去似乎不可完成的精确工作是如何完成的。而突变的产生是轻而易举的。产生突变的内因是细胞分裂过程中有限的复制精度，产生突变的外因也广泛存在，例，高能辐射、紫外线照射、化学制品作用。然而，生命却依然故我地稳定存在。生命之稳定全因DNA不断地得到修复。遗传信息同时储存在两条核酸链上，当突变在其中一条链上出现的时候，一支“修理队”立即赶赴现场，并识别出异常所在，这支“修理队”不是一虚构事物，修复酶不停地沿着DNA双链巡逻，检查双螺旋是否仍井然有序。碱基对的每个差错都被双链几何构型的改变所显示，“修理队”一下子就能将它识别出来，并替换有毛病的部位。在人类的基因组中，1010个碱基对每年只有15对发生置换，这是一件难以想象的精确工作，精度达到1109。突变率之低是由于选择机制的作用。选择机制滤出合适的突变体，并抛弃不合适的个体。进化就是这样一个从大量突变获得的可能性中不断进行滤除的过程，这个滤除过程把某些有利的性状成功选择出来，这将有利于提高该个体在一个特定的自然生态位置生存的机会。动态系统理论的稳定性研究围绕状态及由状态构成的轨道这两个概念进行。暂态轨道的稳定性可以归结为定态轨道的稳定性问题，一个定态轨道的稳定性判定后，它周围的暂态轨道的稳定性也确定了。3.1定态的稳定性稳定性：系统行为在受到扰动后能否消除偏离的问题。一个定态是否稳定可以通过它周围的所有轨道的终态走向来判别。2维系统不动点（导数为0）的稳定性分下列4种类型：①焦点型不动点周围布满螺旋形的相轨道。稳定的焦点轨道：螺旋式地向不动点收缩，随时间的无限延伸，演化方程衰减为0，如：5图3-4稳定的焦点型不动点不稳定的焦点轨道：螺旋式地远离不动点，随时间的无限延伸，演化方程向无穷发散，如：图3-5不稳定的焦点型不动点②结点型不动点在正规情形下，周围布满非螺旋轨道，相轨道是指向不动点的直线，如图3-6和图3-7：图3-6稳定的结点型不动点图3-7不稳定的结点型不动点6非正规情形，如图3-8：图3-8非正规稳定结点型不动点③中心点型不动点不动点周围布满周期不同的闭合轨道，如图3-9所示，中心点是稳定的。④鞍点型不动点相轨道从相反方向向不动点收敛，又从不动点沿相反方向向外发散，每条相轨道先向鞍点靠近，后又远离鞍点而去，故鞍点在整体上是不稳定的。如图3-10所示。图3-9稳定的中心点型不动点图3-10不稳定的鞍点型不动点极限环或周期轨道的稳定性，可分为3种情形：稳定的、不稳定的、单侧稳定的极限环，如图3-11、3-12、3-13：图3-11稳定的极限环图3-12不稳定的极限环图3-13单测稳定的极限环3.2线性系统的稳定性线性系统的演化方程存在一般解法，可以直接分析方程解来确定系统稳定与否。例axx，设初7态0x，则解为atextx0)(，由a值判断)(tx发散（不稳定）或收敛（稳定）。3.3非线性系统的稳定性与线性系统不同，非线性系统由某个解的稳定与否一般不能判定其它解的稳定与否，例xxsin，如图3-14：图3-14xxsin图形同一系统既有稳定定态，又有不稳定定态，所以非线性系统只能讨论某个解的稳定与否，不能一般地讨论系统的稳定与否。4．吸引子与目的性4.1吸引子相空间中满足以下3个条件的点集合（可能包含1个点或有限个点或无限多个点）称为动态系统的吸引子。①终极性吸引子代表系统演化行为要达到的终极状态，处于非吸引子态的系统“不安于现状”，力求离之远去；处于吸引子态的系统“安于现状”，不再具有力图改变这种状态的动力。②稳定性吸引子态是系统自身质的规定性的体现，具有抵制干扰，保持自身特性的能力。③吸引性作为吸引子态的状态集合对于周围的其它状态或轨道具有吸引性，只要系统尚未到达吸引子态，现实状态与吸引子态之间必定存在非零的、指向吸引子的牵引力，牵引着系统向吸引子态运动。由①知，吸引子只能是定态，一切暂态被排除在外；由②知，吸引子只能是稳定定态，一切不稳定的定态都不可能成为吸引子；由③知，稳定而无吸引性的定态被排除于吸引子的候选，具有吸引性是目的态的根本要素，没有吸引性的状态不能成为系统演化所追求的目标。作业