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首页末页数学考点梳理课前预习第49讲解答题难题突破一课堂精讲广东中考首页末页数学1.如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm（1）填空：AD=（cm），DC=（cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）广东中考首页末页数学【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=AC=，由三角函数求出AD即可；（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=，即可得出结果；（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．广东中考首页末页数学【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，∴AC=，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴DC=AC=，∴AD=DC=；故答案为：，；广东中考首页末页数学（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：则NE=DF，∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，∴∠NCF=180°-45°-60°=75°，∠FNC=15°，∵sin∠FNC=，NC=x，∴FC=∴NE=DF=∴点N到AD的距离为广东中考首页末页数学（3）∵sin∠NCF=FNNC，∴FN=∵P为DC的中点，∴PD=CP=，∴PF=∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积即y是x的二次函数，广东中考首页末页数学∵＜0，∴y有最大值，当x=时，y有最大值为【点评】本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．广东中考首页末页数学2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．广东中考首页末页数学【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；压轴题；动点型．【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．广东中考首页末页数学【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．广东中考首页末页数学（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10-t．S△PEF=EF•DH∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．广东中考首页末页数学（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；广东中考首页末页数学③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP-BM=．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10-t．广东中考首页末页数学在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：化简得：t2-35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．【点评】本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．广东中考首页末页数学3.有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．广东中考首页末页数学【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6-时，如答图2所示；（III）当6-＜x≤6时，如答图3所示．广东中考首页末页数学【解答】解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE=，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC=广东中考首页末页数学（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF=，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=y=S△BDG-S△BFM=BD•DG-BF•MN==广东中考首页末页数学（II）当2＜x≤时，如答图2所示：过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=y=S△ABC-S△BFM=AB•AC-BF•MN==广东中考首页末页数学（III）当＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB-BF=6-x，设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=y=S△AFM=AF•AM=综上所述，y与x的函数解析式为：【点评】本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．广东中考首页末页数学1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．强化训练首页末页数学【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．强化训练首页末页数学【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD==4.8．∴线段CD的长为4.8；强化训练首页末页数学（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．强化训练首页末页数学∴∴∴PH=∴S△CPQ=②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴：24=9：100．整理得：5t2-24t+27=0．即（5t-9）（t-3）=0．解得：t=或t=3．∵0≤t≤4.8，∴当t=或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100；强化训练首页末页数学（3）存在①若CQ=CP，如图1，则t=4.8-t．解得：t=2.4．…（7分）②若PQ=PC，如图2所示．∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=∵△CHP∽△BCA．∴∴解得；t=．强化训练首页末页数学③若QC=QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．同理可得：t=．综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．强化训练首页末页数学2．如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求边OC的长；（2）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.强化训练首页末页数学【考点】相似形综合题．【分析】（1）作辅助线求得；（2）由于点Q从点O运动到点C需