第三讲_经典检测和估计理论.

1第二章经典检测与估计理论22.1引言假设：“信号存在”：假设：“信号不存在”。如果可能存在的信号不止一个，那么备选假设将不止一个。信号检测问题：根据观测数据和判决准则对各种假设进行设计检验，判决哪个假设成立。1H0H00:Hrtstnt11:Hrtstnt3假设检验：判决理论问题的组成信号检测的统计推断模型：41、单次检测先验概率：后验概率(条件概率)：似然函数：11)(pHp00)(pHp)|(RHpi)|(iHRp2、多次观测tr01VZ1Z0nrrrr2152.2简单二元假设检验假定观测空间对应一组N个观测值：。可以用矢量r表示：123,,,...,Nrrrrnrrrr212.2.1判决准则在二元假设中，要么H1为真，要么H0为真，所以在实验中有下列4种情况之一发生（注：第一个下标表示选择哪一种假设，第二下标表示哪个假设为真）1、H0为真，选择H002、H0为真，选择H103、H1为真，选择H014、H1为真，选择H116一、Bayes准则（最小风险准则）：每种情况赋予一个非负的代价因子Cij：风险（平均代价）00100111:,:,:,:CPCPCPCPFMD正已知条件：先验概率：，0P1P110PP判决区域：Bayes准则就是在划分观测空间时，要使最小00000100101111101101(|)|||CPPHHCPPHHCPPHHCPPHH视为为真视为为真视为视为为真700)|(0|ZHdHpPRRr正四种可能情况：)(011漏警遗漏：发现：MDPDPDH正确（不发现）虚警：010DPDHF1MDPP1正PPF二元假设检验11,)|(1ZHDdHpPRR|rDZHMPdHpP1)|(011|RRr10)|(0|ZHFdHpPRRr8用转移条件概率密度表示上述四种概率选择划分使最小：011110001|1011|1110|0100|000||||ZHZHZHZHdHpPCdHpPCdHpPCdHpPCRRRRRRRRrrrr000||1ZHdHpRRr011||1ZHdHpRRr1Z0Z、100101110111|11(){[|]HZPCCpPCPCHrR固定代价RRrdHpCCPH]}|[0|0010009定义似然比：定义门限：则有：由于对数函数的单调性：0|001001|11011||011HpCCPHpCCPHHHRRrr1101100100CCPCCP1H0H01|||01HpHpHHRRR|rr0|1|||01HpHpHHRRrr1101100100CCPCCPR1H0HlnRln1H0H10例：假定在下，源输出恒压m。在下源输出为零。在观测之前，源输出电压被附加噪声污染。我们对输出波形进行每秒N次采样并得到N个样本。每个噪声样本室方差为的零均值的随机变量n。在各瞬间的噪声样本均是独立的随机变量，且独立于源的输出。两种假设下的观测量为噪声样本是不相关的，且均为方差为，零均值的高斯随机变量210:1,2,,:1,2,,iiiiHrmniNHrniN1H0H211由已知条件)2exp(21)(22XXpin)2)(exp(21)()|(221|1mRmRpHRpiiniHrii)2exp(21)()|(220|0iiniHrRRpHRpii由于ni统计独立，所以ri的联合概率密度为)2)(exp(21)|(2211|1mRHpiNiHRr)2exp(21)|(2210|0iNiHRHpRr12可得似然比为)2exp(21)2)(exp(21)(221221iNiiNiRmRR22122)(lnNmRmNiiR似然比检验为ln22212NmRmNii由具体判决准则确定的门限值等价为NiiR12ln2Nmm判决是只需要把观测值简单相加并与门限相比较13Bayes准则的三个特例：1、最小总错误概率准则：总错误概率：第一项中积分为；第二项中积分为FPMP11001CC01100CC01101|10|0||ZHZHdHpPdHpPRRRRrr00101lnlnlnPPPP1H0H0|1|||01HpHpHHRRRrr)(lnR两个例题14由于一般是个连续分布，2、最大后验概率准则MAP)|(1RHP)|(0RHP)()()|(11RPHPHRP)()()|(00RPHPHRP)|(iHRPdRHRpHRPii)|()|(11)|(PHRp00)|(PHRp10PP与最小总错误概率准则等效1H0H1H0H1H0HR1H0H153、极大极小检验：当先验概率未知或不精确时如何处理？首先研究一下风险与先验概率关系，利用等式1P011PPMDPP1FPP1正使最大可能的风险最小化，选最小风险曲线的最大值似然函数不变的情况下，固定门限后，、相应为确定值，风险与呈线性关系MPFP1P用此时的来确定门限*1PFMPCCPCCCCP0010110100111FFPCPCP10001)1()(16则由得到极大极小方程：0)(*1111PPPP解此方程得到,然后计算对应门限*1P极大极小方程简化为：00010110100111FMPCCPCCCCP01100CCMCC01FCC01FFMMPCPC17二、Neyman-Pearson准则：实际情况是：先验概率和代价都未知，如雷达中FP条件下，构造一个函数：判决规则：似然比恒虚警：CFAR拉格朗日乘子法为使得F最小，使方括号内项为负的点R应分配到Z0域确定：minmaxMDPPFMPPF10010|1|||ZHZHdHpdHpFRRRRrr0010|1|||1ZHHdHpHpFRRRrrR1H0HFPdHpPHF0||018小结：1、最佳Bayes和N-P检验都是处理观测数据R以获得似然比，然后用与门限比较，可用对数表示：)(R)(R2、对于二元假设检验，不论观测空间的维数多少，判决空间总是一维的lnRln1H0H0|1|||01HpHpHHRRRrr例题10|112,...1|012,...0(|)(,|)(|)(,|)rHNrHNPRHPrrrHPRHPrrrH193、充分统计量)(Rl（1）是接收数据R的一个函数（2）包含了R的全部信息（不损失信息）几何意义：在N维观测空间中选出一个最有效的坐标，包含了全部观测的信息（3）)()(LRL若为R的充分统计量，则)()|()|(||RHLHRhgpiHliHrii)()|)(()|(xxxhlgp定义：给定参数的关于的条件概率密度可以写成如下形式x例题（27页例1、例2）20)|()|()(01HRpHRpR（1）观测矢量R的一个标量函数，一维非负（2）有随机性：R随机（3）似然比的分布函数：R可多维，一维dHppdHppdHpdHppMFD)|()|()|()|(10014、似然比0H1H212.2.2性能：接收机工作特性先计算PF和PDNiiRNl112lnmNmNl的分布：)1,/(:1mNNH)1,0(:0NH计算PF2/lndd22计算PDxdxxx)2exp(21)(2正态分布积分（查表或数值计算）xcdxxx)2exp(21)(2)2//(lnddPcF)2//(lnddPcD23曲线说明与性质：接收机工作特性（ROC）接收机工作特性为上凸曲线由d的定义，对确定的门限值，观测次数越多，或者信号强度和噪声方差的比值越大，检测性能越好曲线斜率为)|(0HpddPFdHppdHppFD)|()|(010,01,10DFDFPPPP)|()(0|0HpddPHDFDdPdP例题24由例题可推出接收机工作特性的一般性质性质1：所有连续似然比检验的接收机工作特性都是向上凸的。如果不是，则随机化检验应当比检验更好，这与似然比检验为最佳的结论相矛盾。性质2：所有连续似然比检验的接收机工作曲线均位于PD=PF之上。这条线正好是性质1的特殊情况，因为点（PD=0，PF=0）和（PD=1，PF=1）包含在所有接受机工作特性曲线之中。性质3：接收机工作特性曲线在某一特定点处的斜率等于门限值由于该门限值可以得到该店的PD和PF值。性质4：当贝叶斯风险最大值在P1轴的（0,1）区间内时，极大绩效检验的工作点是直线。25补充内容：一、序列检测nsrHnsrH000111：：二元nrH00：简单二元观测取样多次：事先不确定观测总个数，每获得第一个数据取样就进行处理，如果判决能满足性能要求，就输出判决结果，检测结束。如果取样顺序得到的，可用批处理法计算似然比如果取样是互相独立的，可用递推法计算似然比0Z1Z2Z：继续检测Nrrrr,,,,321Nrrr21Δr100011,:,:HH26似然比递推初始值：)()(11rR只讨论修正N-P检验，假定错误概率MFPP,1)|()|(001ZjjFdRHRpHDPP11)|()|()|()|()|(1001111ZjjjjZjjDdRHRpHRpHRpdRHRpHDPP其中，代入上式，得：)|()|()(01HRpHRpRjjj1)(jR要判H1成立，必须1lnln)(11111，上门限DP)()()|()|()|()|()|()|()|()|()(111010110101jjjijjjjjijjjjjRrHrpHrpHrpHrpHrpHrpHRpHRpR27正PdRHRpRdRHRpHDPPZjjjZjjM0011000)|()()|()|(1lnln)(1)1(000，下门限MP0)(jR同理要判H0成立，必须每次测量计算一次：)()()(1jjjRrR1、可以求出序列检测的平均取样数：}/)({ln)1(ln}/{,}/)({lnln)1(}/{00101011HRLEHNEHRLEHNE2、可以证明，序贯检测是有终止的，值不会总在、间徘徊013、实际处理中，可规定一个上限，到尚未能判决，则用批处理法，单门限判决.*N*N比较上下门限R1H0H28二、CFAR恒虚警检测－N-P准则应用机载雷达情况下，地面的反射信号称为杂波，影响雷达对真正目标的检测。杂波的特性：信号强度起伏比较大使得无法采用固定门限的方法进行目标检测29求和取平均比较器参考单元CFAR移位寄存器被检测单元K门限=KMNiiXN11......单元平均恒虚警处理30二元检测总结名称准则门限应用条件1、Bayes已知最小总错最大后验极大极小最大不要求先验只用代价2、N-P先验、代价均未知dHp)|(0minc)()(1101100100CCPCCP