第三部分代数结构练习题

1《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()。2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()；3、设〈G,*〉是一个群，则(1)若a,b,x∈G，ax=b，则x=()；(2)若a,b,x∈G，ax=ab，则x=()。4、设a是12阶群的生成元，则a2是()阶元素，a3是()阶元素。5、代数系统G,*是一个群，则G的等幂元是()。6、设a是10阶群的生成元，则a4是()阶元素，a3是()阶元素。7、群G,*的等幂元是()，有()个。8、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1)若ca=b，则c=()；(2)若ca=ba，则c=()。10、H,,是G,,的子群的充分必要条件是()。11、群＜A,*＞的等幂元有()个，是()，零元有()个。12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是()。13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1)a*b=a-b(2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b(4)a*b=|a-b|14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。(1)不可能是群(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交换群215、6阶有限群的任何子群一定不是（）。(1)2阶(2)3阶(3)4阶(4)6阶16、下列哪个偏序集构成有界格（）(1)（N,）(2)（Z,）(3)（{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4)(P(A),)18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。(1)偶数(2)奇数(3)4的倍数(4)2的正整数次幂五、证明或解答：1、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解：2、求下列置换的运算：（1）1433422114233241;（2）31635642352413、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试问I,*是循环群吗？解：34、设G,·是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H是G的子群。证明：5、证明：偶数阶群中阶为2的元素的个数一定是奇数。证明：6、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。证明：7、设G,·是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。试证a·bb·a。证明：48、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试证：I,*为群。证明：9、单位元有惟一逆元。证明：10、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|1，则e0。证明：11、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。证明：512、证明在一个群中单位元是惟一的。证明：13、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。证明：14、设G,是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。证明：15、设半群S,·中消去律成立，则S,·是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。证明：616、设G＝(a)，{e}HG，am是H中a的最小正幂，则（1）H＝(am)；（2）若G为无限群，则H也是无限群；证明：17、在一个群G,*中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。证明：