第九次习题课讨论题参考解答_896403002

1第九次习题课讨论题参考解答5月28日和29日本次习题课讨论题涉及以下四个问题。一．曲线曲面积分续。二．Green定理的应用续。三．Gauss公式和Stokes公式的应用。四．积分关于路径的无关性一．曲线曲面积分续。1．记L为圆周20tan2222xyazyx，从Ox轴的正向看去，圆周的正向为逆时针方向。写出L的参数方程，并利用这个参数方程来计算线积分LdzyxdyxzdxzyI)()()(。（注：我们将在第三部分的第3题，利用Stokes公式更简单地计算上述线积分。）解：在球坐标下曲线的方程为,ar，由此得到L的参数方程cossinsinsincos:azayaxL20，参数增加为曲线正向，代入曲线积分式，得LdzyxdyxzdxzyI)()()(20)cossin)(sincos(cos)coscos)(cossin(sin[aaaadaa)]sin)(sinsinsin(cos)sin(cos2)sin(cos2202ada。解答完毕。2．求积分dydxzhdxdzygdzdyxfI)()()(，其中为长方体],0[],0[],0[cba的边界，正法向朝外，函数)(xf,)(yg和)(zh均为连续函数。解：边界面由6个平面构成，其朝外的单位法向量分别为：20x：)0,0,1(n，ax：)0,0,1(n，0y：)0,1,0(n，by：)0,1,0(n，0z：)1,0,0(n，cz：)1,0,0(n，所以)]0()([)0()()(0000fafbcdydzfdydzafdzdyxfczbyczby。同理)]0()([)0()()(0000gbgacdzdxgdzdxbgdxdzygaxczaxcz，)]0()([)0()()(0000hchabdzdxhdxdychdydxzhbyaxbyax。因此)]0()([)]0()([)]0()([hchabgbgcafafbcI。解答完毕。3．设S为锥面222yxz位于h0z的那一部分，正法向向下。设kjivzyx为流体运动的速度场。求流体在单位时间里通过定向曲面S由内向外的流量Q，即求曲面积分SdQSv。解：简单计算可知曲面（锥面）S的单位法向zzyx2),,(n。由于S的正法向向下，由此可知，S的单位正法向为zzyx2),,(n。于是所求流量为dSzyxzzyxdSdQSSS),,(21),,(nvSv021222SdSzzyx。解答完毕。4．记S为园柱面1:22yxS位于20z的部分，外法向为正，计算曲面积分SyxyxzyzyxIdd)(dd)(。解法1：记向量场),0),((yxzyxV。由假设S的单位正法向量)0,,(yxn，当Szyx),,(。曲面S在柱面坐标下的方程为cosx，siny，zz，20，20z。记),,(zyxr。则)0,cos,sin(r，)1,0,0(zr。于是)0,sin,(coszrr。这表明zrr与S的单位正法向量)0,,(yxn一致。因此20,20),()),((zzSdzdzrrzrVSdVI20,20)0,sin,(cos)sincos,0),(sin(coszdzdz32)cossin(cos20,2022dzdzz。解法2：记立体20,1:22zyx，1:221yxS，0z，正法向向下，1:222yxS，2z，正法向向上。根据Gauss公式得2ddddxdydz)[(dxdydzd201020zrrzyVSnV21dd2dSSSSnVSnVSnV．简单计算得到0d1SSnV，0d2SSnV。因此原积分2I。解答完毕。二．Green定理的应用续。1．(利用Green定理证明平面面积变换公式)回忆平面面积变换定理:设是平面域上的微分同胚，即是1-1映射且其逆也是连续可微的.假设开区域0D及其边界0D均属于的定义域。记开区域0D在映射下的象为1D，即)(01DD。根据曲面面积公式知1D的面积公式为0),(),(det||1DdudvvuyxD，这里),(vuxx，),(vuyy表示映射的两个分量函数。试利用Green公式来证明上述面积变换公式。证明：设开域0D的边界0D有正则的参数表示)(utu，)(vtv，bta，并且0D的正向（逆时针）与参数t增加的方向一致，那么区域1D的边界1D有相应的参数表示))(),(()(tvtuxtxx，))(),(()(tvtuytyy，bta。这是因为微分同胚映内点为内点，映边界点为边界点。因此）（01DD。假设映射保持定向，即它的Jacobian行列式在其定义域上恒大于零,即0),(),(detvuyx，0),(Dvu，则1D的正向与参数t增加的方向一致.于是根据Green公式提供的面积公式得1D的面积为10Dba1)]()()[()()(|D|baDvuvudvxyduxydttvytuytxdttytxxdy。对上式最后一个积分应用Green公式得4dudvvuyxdudvyxyxdudvxyxyDDuvvuDvuuv000),(),(det)(][][|D|1。注意这里我们要求微分同胚为二阶连续可微。证毕.2．计算线积分224yxydxxdyIL，其中L为1yx，逆时针为正向。解：记224),(yxyyxP，224),(yxxyxQ。不难验证yxPyxxyQ222244。因此向量场),(QP是无旋场。记2224:yxL，逆时针为正向。在由正方形L和椭圆L所围成的有界域上，应用Green公式的旋度形式得LLyxydxxdyyxydxxdy222244Lydxxdy21。对线积分Lydxxdy再应用Green公式的旋度形式得dxdyydxxdyIyxL211222422。解答完毕。3．设2RD为有界开区域，它的边界D是逐段光滑曲线，n是D的外单位法向量，设函数),(yxf)(1DC，且),(yxf在D内为调和函数，即02222yfxff，Dyx),(。求证：(i)0dlnfD；(ii)dxdyfdlnffDD2；(iii)若在边界D上，0),(yxf，求证0),(yxf，Dyx),(。解：(i)由于0f,DDDdxdyfndlfdlnf0。（应用Green公式散度形式）。(ii)dxdyffffndlffdlnffyyDDxxD])()[(dxdyfffffDyxyyxx22)(dxdyfD2。（这里用到了假设0yyxxfff。）5(iii)由(ii)的结论可知，若0),(yxf，Dyx),(，则0f，Dyx),(。即0xf，0yf，Dyx),(，所以constyxf),(，从而0),(yxf，Dyx),(。证毕。4．已知函数)(xf在整个实轴R上二次连续可微，满足0)0(f，且使得微分式dyxfdxxfxeyxfx)())](()([是全微分，求)(xf，并使由)1,1(A到)0,1(B逐段光滑曲线L上积分的值为82。解：由假设微分式dyxfdxxfxyxf)())](()([是全微分，故yxfxyxfxf))](()([)(，即xxfxf)()(。这是关于未知函数)(xf的二阶常系数线性常微分方程。根据线性ODE一般理论知，对应的齐次方程0)()(xfxf通解为xcxcsincos21。另一方面不难看出方程xxfxf)()(有一个特解x。因此原方程的通解为xxcxcxfsincos)(21。关于函数)(xf的两个条件，条件0)0(f，以及条件由)1,1(A到)0,1(B逐段光滑曲线L上积分的值为82，可以唯一确定两个常数1c，2c。对xxcxcxfsincos)(21求导得1cossin)(21xcxcxf，01)0(2cf，12c。于是xxxcxfsincos)(1，1cossin)(1xxcxf。)]1cossin(21cossin[)())](()([121xxcyxxxcddyxfdxxfxyxf由)0,0(A到),2(B积分得818)1(1)]1(8[221121ccc得11c。于是xxxxfsincos)(。解答完毕。5.设)(xf是实轴上处处为正的连续函数，D为圆心在原点的单位开圆盘。6证明：(i)Ddxxfydyyxf)()(Ddyyfxdxxyf)()(；(ii)2)()(Ddxxfydyyxf。证明：对等式(i)的两边线积分，分别应用Green公式的旋度形式得左边Ddxdyxfyf)(1)(，右边Ddxdyyfxf)(1)(。由于积分区域为单位圆盘，故上述两个二重积分相等。因此等式(i)成立。注：对上任何一个二重积分中，作变量代换vx，uy就得到另一个二重积分。(ii)类似，我们不难看出DDdxdyyfdxdyxf)()(，DDyfdxdydxdyxfdxdy)()(。这表明，在如下两个二重积分中，Ddxdyxfyf)(1)(和Ddxdyyfxf)(1)(。将被积函数中的变元x换为y，并不改变积分的值。因此dxdyxfyfdxxfydyyxfDD)(1)()()(Ddxdyyfyf)(1)(。由于2)(1)(yfyf。因此22)()(dxdydxxfydyyxfDD。证毕。三．Gauss定理和Stokes定理的应用。1．设为由圆锥面S:222zyx和平面0DCzByAx所围成的圆锥体。(i)证明设此圆锥体的体积V可以表示为dSV)(310nr，其中为区域的边界曲面，0n为其单位外法向量，),,(zyxr．(ii)圆锥体的体积V也可以表示为3AhV，其中A为圆锥的底面积，h为圆锥的高．证明：(i)根据Gauss公式得VdxdydzdzyxdS33),,()(0Snr7故dSV)(310nr。（注：这个结论不仅仅对圆锥体成立，而是一个一般性结论：任何有界立体，其体积均可以表为dS)(31||0nr，其中0n为单位外法向量。）(ii)由于21SS，其中1S记锥面部分，2S记底面部分．因为锥面的顶点在原点，其上每一点的法向量与径向垂直，故0)(10SdSnr。2S为平面0DCzByAx的一部分，其单位