第九章不等式与不等式组

1第九章不等式与不等式组一．不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.2．不等号：①（大于号），表示大于，高于，超过.读作大于.②（小于号），表示小于，低于，不足.读作小于.③（大于或等于号），表示不小于，不低于，至少.读作大于或等于.④（小于或等于号），表示不大于，不超过，至多.读作小于或等于.⑤（不等于号），表示不相等.读作不等于.题型一：判断是否为不等式（看式子当中是否含有不等号）1.下列各式：①1xy；②xy；③2xy；④480m；⑤221xy；⑥0x其中是不等式的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个题型二：列不等式及用特值法比较大小1.用不等式表示下列数量关系（1）a的一半与3的积大于1；____________________（2）m与n的差的一半不大于3；____________________（3）x的相反数与1的和不小于2；____________________（4）a与b的平方和是非负数；____________________（5）a与b的和的平方不小于0；____________________2.已知ab，用不等号填空：（1）1a______1b；（2）2a______2b；（3）3a______3b3.实数a、b在数轴上的位置如图所示，用不等号填空：0ba（1）ab_____0；（2）ba_____0；（3）ab_____0；（4）2a_____2b；（5）a_____b；（6）1a_____1b；（7）ba_____1；（8）ab_____1；二．不等式的解与解集1．不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.2．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.3.不等式的解与解集的区别与联系：不等式的解是一个具体数值，而不等式的解集是由所有解组成的一个取值范围.解集包括解，所有的解组成了解集.4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式.题型：不等式的解与解集的区别1.判断下列说法是否正确（1）不等式2x的正整数解只有一个.（）（2）不等式3x的整数解有无数个.（）（3）不等式5x的负整数解有无数个.（）（4）1x是不等式21x的一个解集.（）（5）不等式39x的解集是3x（）2三．不等式的性质不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果ab，那么acbc不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果ab，0c，那么acbc（或abcc）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如果ab，0c，那么acbc（或abcc）（备注：不等式的性质1与性质2为加减法和乘法，不等号方向不变；不等式的性质3为除法，不等号方向改变；另外乘的数和除以的数都不能为0，因为若同乘以0，则不等式变成等式00，若同除以0，则0作为除数没有意义，在判断时注意举反例和特值法的应用）题型一：不等式的性质应用1．若ab，则下列不等式不一定成立的是（）A.ambmB.22(1)(1)ambmC.22abD.22ab2.下列命题正确的是（）A.若ab，bc，则acB.若ab，则acbcC.若ab，则22acbcD.若22acbc，则ab3.下列不等式变形正确的是（）A.由ab得22abB.由ab得22abC.由ab得abccD.由abcc得ab4.当0ab，那么下列不等式正确的是（）A.11abB.1abC.1abD.2abb5.当01x时，x，1x，2x的大小顺序是（）A.21xxxB.21xxxC.21xxxD.21xxx6.由ab得到0ab根据的是不等式的性质____，得到ambm的条件是_________.7.若0ab，则不等式0axb的解集是____________.8.不等式293(2)xx的正整数解是____________.9.若关于x的不等式325mx的解集是2x，则实数m的值为_________.10.已知关于x的不等式(1)2ax的解集为21xa，则a的取值范围是____________.题型二：中考衔接题1．若0a，由02ba可得b____0，由12ba可得2ab____0.若0a，由02ba可得b____0，由12ba可得2ab____0.2.如果不等式30mx的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是____________.3四．在数轴上表示不等式的解集数轴上表示解集时，需注意：大于号为空心点朝右，大于等于号为实心点朝右；小于号为空心点朝左，小于等于号为实心点朝左.题型：在数轴上表示不等式的解集1.不等式311xx的解集在数轴上表示为（）A.B.C.D.2.在数轴上表示不等式 214x的解集，正确的是（）0-10-1100-1A.B.C.D.3.写出数轴上所表示的解集.（2）（1）3210-1-210-1-2（1）____________________.（2）____________________.五．比较大小作差法比较大小：比较A和B的大小（A和B既可以是单项式也可以是多项式），计算AB（1）当0AB时，AB.（2）当0AB时，AB.（3）当0AB时，AB特值法比较大小：在选择填空的有些题目中代入一个符合已知条件的特值计算比较大小题型：比较大小1.设a，b，c表示三种不同物体的质量，在天平上的情况如图所示，则三种物体的质量由小到大排列是_________________.2.设△，〇，□分别代表三个不同物体，则按质量用“”连接起来为_________________.第2题图第1题图bacbccc3.比较大小：（1）223aa_______32a4.试比较2222ab与22213ab的大小关系并说明理由.-2-1012-2-1012210-1-2-2-10124六．一元一次不等式一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.解一元一次不等式的步骤：类比解一元一次方程的步骤，包括：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.（备注：与解一元一次方程的相同点：移项要变号.与解一元一次方程的不同点：解一元一次不等式在系数化为1的过程中要依据不等式的性质2与性质3）题型一：一元一次不等式的概念理解1.下列不等式：①1x；②xy；③1xx；④1102x；⑤2210xx；⑥1x其中是一元一次不等式的是_________________.2.已知2(3)10mmx是一元一次不等式，那么m的值是________.3.如果(1)23mxy是关于y的一元一次不等式，那么m的值是________.题型二：解一元一次不等式1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.（1）32(2)3(1)xxxx（2）213(1)132xx2.不等式293(2)xx的正整数解是___________.3.求不等式12123xx的非负整数解.4.已知3x是关于x的不等式22323axxx的解，求a的取值范围.5题型三：根据解集确定一元一次不等式中未知字母的值或范围1.不等式1()33xmm的解集为1x，则m的值是________.2.已知不等式20x的解也是不等式312mx的解，则m的取值范围是________.3.若关于x的不等式23xm有三个正整数解，则m的取值范围是__________.题型四：一元一次不等式与方程、绝对值的综合1.当方程243xmxm的解为非正数时，m的取值范围是__________.2.已知3x是方程212xax的解，那么不等式1(2)53ax的解集是__________.3.已知不等式5(2)86(1)7xx的最小正整数解是关于x的方程24xax的解，则a的值是________.4.已知关于x，y的方程组325xyaxya，若xy，则a的取值范围是________.5.已知关于x，y的方程组23224xymxy的解满足32xy，则满足条件的m的所有正整数值为___________.6.已知实数x，y，m满足230xxym，且y为负数，则m的取值范围是__________.7.已知3(52)546(1)xxx，则化简3113xx的结果是__________.8.已知226(35)0mmn，且(32)15nmx，则化简25253xx的结果是______________.题型五：一元一次不等式中的定义新运算问题1.定义一种新运算“”，其运算法则为23abab，如15213513，则不等式40x的解集为__________.2.对于任意实数a，b，都有()1abaab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：252(25)12(3)1615，则(2)3________，若313x，则x的取值范围是__________.3.阅读理解：符号“acbd”称为二阶行列式，规定的运算法则为acadbcbd，例如353452224，若二阶行列式13121xx，则x的取值范围是__________.6七．一元一次不等式中的实际问题列一元一次不等式解应用题的关键：（1）正确理解题目中表示不等关系的语句，将其转化为不等号，例如：不小于、不低于、至少为“”，不大于、不超过、至多为“”，大于、高于、超过为“”，小于、低于、不足为“”.（2）若有单位，所设未知数后面不要漏单位，单位要统一.（3）答案要符合题意，并且在有些题目中注意分类讨论.题型一：列一元一次不等式解应用题1.小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶.已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买多少瓶甲饮料？2.某供电公司为了鼓励市民用电，制定了如下标准收取电费：若每户每月用电不超过100度，则每度电0.5元；若每户每月用电超过100度，则超出部分每度电收取0.4元.小颖家某月的电费不多于80元，那么她家这个月的用电量最多是多少？3.某商店对某种商品进行促销，将定价为3元的商品以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买超过5件，则超过的部分打八折.则用27元钱最多可购买该商品多少件？4.某工厂前年有员工280人，去年经过结构改革减员40人，全厂年利润增加100万元，人均创利至少增加6000元，前年全厂年利润至少是多少？7题型二：一元一次不等式中的方案问题1.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折.若你是消费者，选哪甲商场购买比较合算？2.为了保证排污达标，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其价格、处理污水量、年消耗费用如下表格.经预算，购买设备的资金不超过105万元.（1）该企业有几种购买方案？（2）若该企业每月生产污水为2040t，为节约资金，应选择哪种方案？AB价格（万元）1210处理污水（吨/月）240200年消耗费用（万元/台）113.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元，其中100x.（1）根据题意，填写下表（单位：元）130290x在甲商场127在乙商场126（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场