第九章定积分

《数学分析》教案-1-第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§1定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；《数学分析》教案-2-教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2已知函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有《数学分析》教案-3-.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分.例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.四、小结：指出本讲要点§2Newton—Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1（N—L公式）(证)例1求ⅰ;ⅱ;例2求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:《数学分析》教案-4-Th9.2，在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)《数学分析》教案-5-性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式.可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有《数学分析》教案-6-，.证..4.上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2，有上界，有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.例1求和.其中是Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证:对使当时有.是显然的.因此只证.),对,使《数学分析》教案-7-设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得即亦即.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6.可积的充要条件:Th2（充要条件1）设函数在区间上有界.=.证设=,则有=.即对使当时有||对成立.在每个上取,使,于是,||=.《数学分析》教案-8-因此,时有||||+||+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而===.令和的共值为,由双逼原理=.Th9.3有界.对.证()=0.即对时,.,由,–,=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th9.3’(充要条件2)有界.对.《数学分析》教案-9-Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有,对如此构造的分法,有.Th4((R)可积函数的特征)设在区间上有界.对和,使对任何分法,只要,对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积,对和,使对任何分法,只要,就有.对的区间总长小于此时有=《数学分析》教案-10-=三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th5（证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积.Th6（证）推论1闭区间上按段连续函数必可积.推论2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积.例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.()闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.()3.闭区间上的单调函数必可积：Th7（证）例3证明在上可积.§4定积分的性质（2学时）教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；《数学分析》教案-11-一.定积分的性质:1.线性性质:Th1—Const,且.（证）Th2,,且.（证）综上,定积分是线性运算.2.乘积可积性:Th3,.证和有界.设,且可设.(否则或恒为零).插项估计,有.……但一般.3.关于区间可加性:Th4有界函数在区间和上可积，,并有.(证明并解释几何意义)规定,.系设函数在区间上可积.则对,有《数学分析》教案-12-.（证）4.积分关于函数的单调性:Th5设函数,且,.（证）(反之确否?)积分的基本估计:.其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5.绝对可积性:Th6设函数,,且(注意.)证以证明;以证明不等式.该定理之逆不真.以例做说明.6.积分第一中值定理:Th7(积分第一中值定理),使=.（证）Th8(推广的积分第一中值定理)且不变号.则,使=.（证）.《数学分析》教案-13-二.举例:例1设.试证明:.其中和是内的任二点,{},.例2比较积分与的大小.例3设但.证明0.例4证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式,且等号不恒成立,则由性质4和上例得所证不等式.例5证明.§5微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.《数学分析》教案-14-一.变限积分与原函数的存在性引入：由定积分计算引出.1.变限积分:定义上限函数，（以及函数）其中函数.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数.Th9(面积函数的连续性)思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：Th10微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数则面积函数在上可导，且=.即当时,面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值.亦即是的一个原函数.证系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理Th11（积分第二中值定理）设函数在上可积，（i）若函数在上减，且，则存在，使得《数学分析》教案-15-（ii）若函数在上增，且，则存在，使得推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法：1.换元积分法Th12设函数满足条件：ⅰ,且;ⅱ在上有连续的导函数.则.（证）例1.(P225)例2.(P225)例3计算.(P225—226)该例为技巧积分.《数学分析》教案-16-例4.该例亦为技巧积分.例5已知,求例6设函数连续且有求积分例7设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则，（.）例8..2.分部积分法Th13(分部积分公式)例9例10计算.解=；《数学分析》教案-17-解得直接求得，.于是,当为偶数时,有;当为奇数时,有.三.Taylor公式的积分型余项:P227—229.习题课（2学时）一．积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1证明不等式.证注意在区间[0,1]上有,……例2证明不等式.证考虑函数,.易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有,注意到,就有.而《数学分析》教案-18-,.因此有.取,.在区间仿以上讨论,有.而，.综上,有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理:设函数和在区间上可积.为区间的等分分法,.若对任何和,均有,即得.令,注意到函数和在区间上可积,即得积分不等式《数学分析》教案-19-.倘若函数和连续,还可由.例3证明Schwarz不等式(亦称为Cauchy–Буняковский不等式):设函数和在区间上连续(其实只要可积就可).则有不等式.证法一(由Cauchy不等式Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅上册:设和为两组实数,则有.)设为区间的等分分法.由Cauchy不等式,有,两端同乘以,有,《数学分析》教案-20-令,注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有，,即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,于是就有,即.例4且.证明不等式.证取.对函数和应用Schwarz不等式,即得所证.例5设函数在区间[0,1]上可积.试证明有不等式《数学分析》教案-21-.证先用Jensen不等式法证明不等式:对,有不等式.设为区间的等分分法.由上述不等式,有.令,注意到函数和在区间[0,1]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式.仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式.二.面积函数的导数:例6求和例7求和例8求.例9设时函数连续且.求.(=)《数学分析》教案-22-例10设函数连续且.求和.解令.两端求导,=.例11设.=.试证明:=.证=,=.例12设函数在区间上连续且0..试证明:函数在区间内严格递增.证=,而.0,在内，又连续，，在区间内0.因此在区间内严格递增.三.含有变限积分的未定型极限:《数学分析》教案-23-例13求极限.(2)四.定积分的计算:例14计算积分.例15计算积分=.解时,=;时,=;时,=.因此,例16利用积分的值,计算积分.解.《数学分析》教案-24-,而,.因此，例17,求(2)例18设是区间上连续的偶函数.试证明:是上的奇函数.证法一.证法二注意到,有==.五.利用定积分求和式极限:原理:用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.《数学分析》教案-25-例19求极限.[3]P163E13.与§1例2连系.例20求极限.解==.由函数在区间[0,1]上可积,有=..例21求极限.解==.,.因此,.《数学分析》教案-26-例22试证明:对任何,有不等式.证=是函数=在区间[0,1]上相应于等分分法的小和.由函数=在区间[0,1]上可积,有时,↗.又易见↗↗.对任何,有,即.