第九章导热.

——阐述导热的基本概念、基本定律及导热问题的数学描述方法，为求解导热问题奠定必要的理论基础，讨论集中简单的稳态导热的分析解法，简要介绍导热问题的数值解法。本章的主要内容导热理论基础1稳态导热21.导热的基本概念（1）温度场在时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的。9-1导热理论基础主要内容与导热有关的基本概念；导热基本定律；导热现象的数学描述方法,,,tfxyz一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热。稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热。,,tfxyz一维温度场二维温度场三维温度场,tfxtfx,,tfxy,tfxy,,,tfxyz,,tfxyz/0t9-1导热理论基础（2）等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温面相交,就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。等温面与等温线的特征：同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。9-1导热理论基础（3）温度梯度9-1导热理论基础在温度场中，温度沿x方向的变化率(即偏导数)很明显,等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。xtxtx0lim9-1导热理论基础在直角坐标系中，温度梯度可表示为分别为x、y、z方向的偏导数;i、j、k分别为x、y、z方向的单位矢量。ztytxt、、kjigradztytxtt温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。ngradntt9-1导热理论基础在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。kjiqzyxqqq（4）热流密度热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q表示热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。n-qdAdΦdAdΦqntdAdq2.导热的基本定律傅里叶（Fourier）于1822年提出了著名的导热基本定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。对于各向同性物体,傅里叶定律表达式为傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。ngradqntt9-1导热理论基础9-1导热理论基础对于各向同性材料,各方向上的热导率相等,由傅里叶定律可知,要计算导热热流量,需要知道材料的热导率,还必须知道温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。标量形式的傅里叶定律表达式为ntqkjiqzyxqqqkjigradztytxttkjiqztytxtxtqxytqyztqz傅里叶定律的适用条件：（1）傅里叶定律。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。（2）傅里叶定律，对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。xyqxqyqnxy9-1导热理论基础3.热导率（导热系数）热导率表明。根据傅里叶定律表达式绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。/ntqWmCn9-1导热理论基础物质的热导率在数值上具有下述特点:(1)对于同一种物质,最大,最小；(2)一般金属的热导率非金属的热导率；(3)导电性能好的金属,其导热性能也好；(4)纯金属的热导率它的合金；(5)对于,热导率的数值；(6)对于同一种物质,晶体的热导率要大于非定形态物体的热导率。9-1导热理论基础热导率数值的影响因素较多,主要取决于,此外对热导率也有较大的影响。其中对热导率的影响尤为重要。温度对热导率的影响：一般地说,,。9-1导热理论基础纯金属的热导率。一般合金和非金属的热导率。大多数液体（水和甘油除外）的热导率。9-1导热理论基础在工业和日常生活中常见的温度范围内,绝大多数材料的热导率可近似地认为随温度线性变化,并表示为01/btWmC0为按上式计算的0℃下的热导率值，并非热导率的真实值,如图所示。温度为0℃时的导热系数b为由实验确定的常数，其数值与物质的种类有关。9-1导热理论基础导热问题的数学描述（数学模型）（1）导热微分方程式的导出导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场,,,tfxyz依据：傅里叶定律和热力学第一定律。假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；2）热导率、比热容和密度均为已知。导热数学模型的组成：3）物体内具有内热源；内热源均匀分布；9-1导热理论基础4.导热微分方程及其单值性条件根据能量守恒定律有：单位时间内通过微元体边界进入的热量单位时间内通过微元体边界流出的热量单位时间内微元体内产生的热量单位时间内微元体内能量的增量9-1导热理论基础dVddU1）净导入微元体的热流量zyxdddddydzqdydzqddddxxxdxxxxdxdydzxqxdxdydzxtxdxdydzxtx9-1导热理论基础9-1导热理论基础同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为于是,在单位时间内净导入微元体的热流量为dxdydzytydydxdydzztzdzdxdydzztzytyxtxd9-1导热理论基础单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元热力学能的增加：根据微元体的热平衡表达式d+dV=dU可得dxdydzdVdxdydztcdUztzytyxtxtc导热微分方程式9-1导热理论基础导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。当热导率为常数时,导热微分方程式可简化为或写成称为热扩散率,也称导温系数,单位为m2/s。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。cztytxtct222222ctat2ca拉普拉斯算子a的物理意义：物体蓄热能力物体导热能力ca从导热方程看：at温度变化快扯平能力强故a是评价温度变化速度的一个指标。a的特点：若物性参数为常数、无内热源、稳态导热。2222220tttxyz稳态导热时，a体现不出来a与λ的区别:①都为物性参数，②物理意义不同9-1导热理论基础直角坐标系下导热微分方程式的简化：（1）物体无内热源：222222ttttaxyz（2）稳态导热：0t（3）稳态导热、无内热源：2222220tttxyz拉普拉斯方程9-1导热理论基础cztytxtat222222cztytxtat222222cztytxtat2222220222222cztytxta采用坐标转换的方法，可将直角坐标系中的导热微分方程转换到圆柱坐标系中，即圆柱坐标系中的具有内热源的三维不稳定导热微分方程为：圆柱坐标系下，无内热源的一维稳定导热微分方程式为：9-1导热理论基础czttrrtrrtat2222222110122drdtrdrtd导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷多个解。为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的（或称），使导热微分方程式具有唯一解。与一起构成具体导热过程完整的数学描述。一般包括：、、、。9-1导热理论基础1)几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2)物理条件说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)的数值及其特点等。9-1导热理论基础（2）导热微分方程式的导出3)时间条件说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：0(,,)tfxyz9-1导热理论基础4)边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。常见的边界条件分为以下三类:(a)第一类边界条件给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：w,,,tfxyz(b)第二类边界条件给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：wqntwwtqnwwqtn9-1导热理论基础(c)第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h。用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。如果物体的某一表面是绝热的,即qw=0,则物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。wqf,ht根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得w=0ntwfwthttn9-1导热理论基础第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为。上式描述的第三类边界条件是线性的,所以也称为，反映了导热问题的大部分实际情况。9-1导热理论基础9-1导热理论基础对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括：建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、(2)数值解法、(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。(1)导热微分方程式;(2)单值性条件。对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。9-2稳态导热稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程。主要讨论日常生活和工程上常见的平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题。1.平壁的稳态导热当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。表面面积为A、厚度为、为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1tw2。（1）单层平壁的稳态导热选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。oxtw1tw2220dtdx当x=0时,t=tw1当x=时,t=tw29-2稳态导热cztytxtat222222数学模型求解结果：211导热热阻Φtw1tw2R可见，当为常数时,平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为：由傅里叶定律可得热流密度：通过整个平壁的热流量为：21wwttdxdt21wwttdxdtq21wwttAAqRtAttww219-2稳态导热（2）多层平壁的导热9-2稳态导热多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别