第九章微分方程

第九章常微分方程基本课题：第九章第一节常微分方程的基本概念目的要求：掌握常微分方程的基本概念重点：常微分方程的概念,解的概念，列微分方程难点：常微分方程的概念，列微分方程教学方法：讲授法教学手段：常规教参：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：)()(/xfxF式子中，若已知)(xf求)(xF问题就是前面学过求不定积分，注意到)()(/xfxF是一个方程的形式，还可以改写成dxxfxdF)()(像这样未知数为函数且含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程。讲授新课：微分方程的概念：未知量为未知函数，含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。举例：例1已知曲线上各点的切线的斜率与该点横坐标的平方之差为1，且曲线过点（0，1），求曲线方程。列微分方程：21dyxdx，利用不定积分方法解得：313yxxC因为曲线过点（0，1），所以C=1，从而所求的曲线方程为1313xxy.这样通过上例介绍微分方程解，通解，特解概念，以及初始条件的概念例2列车在平直的轨道上以30m/s的速度行驶，当制动时，列车加速度为-0.62/ms，求制动后列车的运动规律.例题讲解：欲求出未知函数()sst，已知加速度0.6a，回忆导数的物理意义，导数既表示变化率，对于路程来说，速度就是路程函数关于时间的变化率，也就是路程函数关于时间的导数，加速度是速度关于时间的变化率，也就是速度函数关于时间的导数，于是有：220.6dsadt通过积分办法可以求出其解2120.3stCtC。如何确定12CC与，通过给订的初始条件ms30)0(/s,(0)0s可以确定下来。比较例1与例2介绍微分方程的阶的概念。列出微分方程例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者的温度的差成正比，设有一瓶热水，水温原来是100C，空气的温度是20C，经过20h后，瓶内水温降到80C，求瓶内水温的变化规律。例题讲解：欲求出未知函数()TTt，物体的冷却速度怎么表示？正如上例，物体的冷却速度就是温度相对于时间的变化率，所以冷却的速率该物体及空气两者的温度的差成正比，可以改写成/()(20)TtkT，初始条件为(0)100,(20)80TT，如何求方程请预习下一节变量分离的方法。小结：本堂课介绍微分方程的概念,知道什么事特解与通解，初始条件等概念，列微分方程就是通过导数表示函数相对于自变量变化率的角度列出等式。课堂交流：1提问求原函数怎么求？导数的物理意义是什么？冷却的的速率与该物体及空气两者的温度的差成正比，那么物体冷却的速率是恒定的呢还是变化的？2课堂练习习题9-1：1，2课外作业及思考题：习题9-134题总结比较微分方程与数的方程的差别基本课题：第二节可分离变量的微分方程目的要求：掌握可分离变量的微分方程概念，掌握分离变量法重点：分离变量法难点：分离变量法教学方法：讲授法教学手段：常规教参：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：前面例1中的微分方程为21dyxdx，可以将此方程写作2(1)dyxdx，把微分方程中的变量分离到两边，形如)()(ygxfdxdy的微分方程称为可分离变量的微分方程。讲授新课：1、可分离变量法的原理：不定积分的性质()()dFxFxC，以及数学的恒等关系dxxfygdydxxfygdyygxfdxdy)()()()()()(例题讲解：求微分方程2dyxydx的通解.解分离变量得2dyxdxy两边积分2dyxdxy得21lnyxC或写为21Cxyee因为0y也是方程的解,所以21Cxyee又可以写为2xCey,C为任意常数.例2求'secyxy满足初始条件01xy的特解.解原方程分离变量后得cosdyxdxy两边积分xdxydycos得lnsinlnyxC因此通解为sinxyCe由初始条件y(0)=1,得C=1所以特解为sinxye通过例1例2总结出，任意常数有时候用lnC，这样可以把解的形式写得更加简洁例3求/()(20)TtkT满足(0)100,(20)80TT的解。小结：变量分离的方法：dxxfygdydxxfygdyygxfdxdy)()()()()()(课堂交流：1提问可分离变量的微分方程是几阶的微分方程？2课堂练习习题9-2：1（1）（2）（3）课外作业及思考题：习题9-2：2（1）（2）（3）基本课题：第三节一阶线性微分方程目的要求：掌握一阶线性微分方程的概念，常数变易法重点：常数变易法难点：常数变易法教学方法：讲授法教学手段：常规教参：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：前面学了微分方程的概念与种类，也学了最简单的微分方程可以分离变量的微分方程，现在我们来看一阶线性微分方程讲授新课：形如'()()ypxyqx的方程称为一阶线性微分方程，“线性”是指在方程中含有未知函数y和它的导数'y的项都是关于y，y的一次项，而()qx称为自由项。当()0qx时，'()0ypxy称一阶线性齐次微分方程，当()0qx时，方程称一阶线性非齐次微分方程.常数变易法：'()0ypxy的解为dxxpCey)(，将'()()ypxyqx的解设为()()pxdxyuxe（()ux待定函数）代入'()()ypxyqx中出现一个较好结果：()'()()pxdxuxeqx于是()()()pxuxqxedxC因此一阶线性非齐次微分方程（10-3）的通解为()()[()]pxdxpxyeqxedxC例题讲解：例1求方程'3220yxyx满足初始条件(0)2y的特解例2求微分方程'1(1)1xyyexx的通解。总结一阶线性非齐次微分方程解的结构：线性非齐次微分方程通解等于其对应齐次微分方程通解加上其本身的一个特解。小结：本堂课介绍微分方程的常数变易法，在这里首先要通过分离变量的方法算出齐次微分方程的解，将线性齐次微分方程通解中的常数C变为待定的函数()ux,然后代入非齐次方程求出()ux，这样的方法叫做常数变易法.在求解此类方程时可用上面的方法进行，也可以直接应用公式求解这种方法某种意义上时去“找”解，逻辑性没有前面的强。以后这种找的方法也会在后面用到。课堂交流：1提问微分方程的种类有哪些？什么叫做“线性”？2课堂练习习题9-3：1课外作业及思考题：9-3：2基本课题：第五节二阶常系数线性微分方程目的要求：掌握二阶常系数线性齐次微分方程的概念与解法重点：二阶常系数线性齐次微分方程的概念与解法难点：二阶常系数线性齐次微分方程解法教学方法：讲授法教学手段：常规教参：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：什么叫做通解，什么叫做特解？一阶线性非齐次微分方程的解的结构是什么？讲授新课：二阶常系数线性齐次微分方程解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程'0ypyqy解法特征方程20pq根方程的通解y有两个不相等实根：121212xxyCeCe有两个相等实根：1212xxyCeCxe有共轭复数根：abi(0)b12(cossin)axyeCbxCbx例题讲解：例1求方程'320yyy的通解例2求方程'20yyy的通解小结：二阶常系数线性齐次微分方程解的结构，然后用“找特解”思想，利用最特殊的指数函数设待定函数的方法把二阶常系数线性齐次微分方程转化成了一元二次线性代数方程来解，这种待定函数的方法在上面也介绍过，根据不同方程的特点选取不同的待定函数也是微分方程的求解的一个思路。课堂交流：1提问什么叫做通解什么叫做特解一阶线性非齐次微分方程的解的结构是什么？哪个函数的导数和本身是同类项？方程的复数解怎么求？2课堂练习习题9-5：1，2课外作业及思考题：习题9-33题