第九章欧氏空间

1第八章欧氏空间练习题1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||；(2).||41||41,22在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?2．在区氏空间nR里,求向量)1,,1,1(与每一向量)0,,0,1,0,,0()(ii,ni,,2,1的夹角.3．在欧氏空间4R里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||(勾股定理)6．设,,,,21n都是一个欧氏空间的向量,且是n,,,21的线性组合.证明：如果与i正交,ni,,2,1,那么0.7．设n,,,21是欧氏空间的n个向量.行列式nnnnnnnG,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n,,,21的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21nG=0,必要且只要2n,,,21线性相关.8．设,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:,,2和,,2都是0的整数.证明:,的夹角只可能是6543,32,2或.9.证明:对于任意实数naaa,,,21,23322211(||nniiaaaana).10．已知)0,1,2,0(1,)0,0,1,1(2,)1,0,2,1(3,)1,0,0,1(4是4R的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R的一个规范正交基．11．在欧氏空间]1,1[C里,对于线性无关的向量级{1,x,2x,3x}施行正交化方法,求出一个规范正交组．12．令},,,{21n是欧氏空间V的一组线性无关的向量,},,,{21n是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即nnnnGG,,,),,,(),,,(2211212113．令n,,,21是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1nixxVKniiiiK叫做一个n-方体.如果每一ix都等于0或1,就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?14．设},,,{21m是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意V,以下等式成立:3mii122||,.15．设V是一个n维欧氏空间.证明)(i如果W是V的一个子空间,那么WW)(.)(ii如果21,WW都是V的子空间,且21WW,那么12WW)(iii如果21,WW都是V的子空间,那么2121)(．证明,3R中向量),,(000zyx到平面}0|),,{(3czbyaxRzyxW的最短距离等于222000||cbaczbyax．17．证明,实系数线性方程组njijijnibxa1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量nnRbbb),,,(21与齐次线性方程组njjjinixa1,,2,1,0的解空间正交.18．令是n维欧氏空间V的一个非零向量．令}0,|{VP．P称为垂直于的超平面,它是V的一个1n维子空间.V中有两个向量,说是位于P的同侧,如果,,与同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面P同侧,且两两夹角都2的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r是满足题设条件的一组向量.则)(0,jiji,并且不妨设)1(0,rii.如果riiic10,那么适当编号,可设40,,,0,,,121rssccccc,)1(rs,令rsjjjsiiicc11,证明0.由此推出0ic)1(ri.]19．设U是一个正交矩阵.证明:)(iU的行列式等于1或-1;)(iiU的特征根的模等于1;)(iii如果是U的一个特征根,那么1也是U的一个特征根;)(ivU的伴随矩阵*U也是正交矩阵.20.设02cos,且cossin0sincos0001U.证明,UI可逆,并且0101000002tan))((1UIUI21.证明:如果一个上三角形矩阵nnnnnaaaaaaaaaaA000000333223221131211是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ija是1或-1.22．证明:n维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.23．设是n维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在之下不变,那么W的正交补W也在下不变.24．设是欧氏空间V到自身的一个映射,对,有.,)(),(证明是5V的一个线性变换,因而是一个正交变换.25．设U是一个三阶正交矩阵,且1detU.证明:)(iU有一个特征根等于1;)(iiU的特征多项式有形状1)(23txtxxxf这里31t.26．设},,,{21n和},,,{21n是n维欧氏空间V的两个规范正交基.)(i证明:存在V的一个正交变换,使niii,,2,1,)(.)(ii如果V的一个正交变换使得11)(,那么)(,),(2n所生成的子空间与由n,,2所生成的子空间重合.27．设是n维欧氏空间V的一个线性变换.证明,如果满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i是正交变换;)(ii是对称变换;)(iii2是单位变换.28．设是n维欧氏空间V的一个对称变换,且2.证明,存在V的一个规范正交基,使得关于这个基的矩阵有形状00010129．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.30．n维欧氏空间V的一个线性变换说是斜对称的,如果对于任意向量V,,)(,),(.证明:6)(i斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件AA的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii反之,如果线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么一定是斜对称线性变换.)(iii斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.31．令A是一个斜对称实矩阵.证明,AI可逆,并且1))((AIAIU是一个正交矩阵.32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AUU'是对角形式:)(i510810228211A;)(ii114441784817A