第九节函数模型及其应用.

第九节函数模型及其应用第九节函数模型及其应用基础盘查一指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的性质(一)循纲忆知了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．第九节函数模型及其应用(二)小题查验1．判断正误(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大()×(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α0)的增长速度()√(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻()×(4)幂函数增长比直线增长更快()×(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()√第九节函数模型及其应用2．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．2ln21024第九节函数模型及其应用基础盘查二常见的几种函数模型(一)循纲忆知了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第九节函数模型及其应用(二)小题查验1．判断正误(1)不存在x0，使ax0xa0logax0()×(2)美缘公司2013年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%()×(3)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()√(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)()√第九节函数模型及其应用2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_______只．200第九节函数模型及其应用考点一用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]常见的函数模型1．正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；3．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；4．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；第九节函数模型及其应用5．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；6．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；7．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；8．“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a＞0)．第九节函数模型及其应用[题组练透]1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()第九节函数模型及其应用解析：出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.答案：C第九节函数模型及其应用2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析：依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.第九节函数模型及其应用[类题通法]判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．第九节函数模型及其应用考点二应用所给函数模型解决实际问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．第九节函数模型及其应用[典题例析]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．第九节函数模型及其应用解：(1)由题图，设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t＞1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.所以y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t＞1.(2)由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25或t1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．第九节函数模型及其应用[类题通法]求解所给函数模型解决实际问题的关注点(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．[提醒](1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．解决实际问题时要注意自变量的取值范围．第九节函数模型及其应用[演练冲关]里氏震级M的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．第九节函数模型及其应用解析：根据题意，由lg1000－lg0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案：610000第九节函数模型及其应用考点三构建函数模型解决实际问题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题．第九节函数模型及其应用归纳起来常见的命题角度有：(1)构建二次函数模型；(2)构建分段函数模型；(3)构建“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a＞0)模型；(4)构建高次函数或复杂的分式结构函数模型.第九节函数模型及其应用角度一：构建二次函数模型1．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－13t＋1123(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．第九节函数模型及其应用解：当1≤t≤40，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝－13t＋112314t＋22＝－112t2＋2t＋112×223＝－112(t－12)2＋25003，所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝25003.当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝－13t＋1123－12t＋52＝16t2－36t＋112×523＝16(t－108)2－83，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝14912.所以，S(t)的最大值为25003，最小值为8.第九节函数模型及其应用角度二：构建分段函数模型2．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．第九节函数模型及其应用解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003，故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，200－x3，20x≤200.第九节函数模型及其应用(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，x200－x3，20x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋200－x22＝100003.第九节函数模型及其应用当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值f(x)max＝100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．第九节函数模型及其应用角度三：构建“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a＞0)模型3．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价为85%)．问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．第九节函数模型及其应用解：(1)设该场x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．从而有y1＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y1有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．第九节函数模型及其应用(2)设该场利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x＋303(x≥25)．令f(x)＝300x＋3x(x≥25)，∵f′(x)＝－300x2＋3，∴当x≥25时，f′(x)＞0，即函数f(x)与y2在x≥25时是增函数．∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.∵390417，∴该场应考虑利用此优惠条件．第九节函数模型及其应用角度四：构建高次函数或复杂的分式结构函数模型4．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.