第九讲二重积分

第九讲二重积分Ⅰ.考试要求1．了解二重积分的概念与基本性质．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．注：(1)数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等）．(2)数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．Ⅱ.考试内容一、二重积分的概念与性质1.二重积分的定义(,)fxy在有界闭区域D上有界01lim(,)niiiifDdyxf),(注：(1)若(,)fxy在闭区域D上连续，或在D上有界且只在有限条曲线上不连续，则函数可积.(2)若Ddyxf),(存在,则对D:01x,01y取特殊的分割方式可得2111lim(,)nnnjiijfnnnDdyxf),(（3）曲顶柱体的体积2．二重积分的性质(1)DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([；(2)21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf，其中21DDD，12DD；注：1122(,)(,)(,)DDDDfxydfxydfxyd(3)AdD1，其中A为D的面积；(4)若在D上),(),(yxgyxf，则DDdyxgdyxf),(),(；注：①逆命题不成立.②在D上(,),(,)fxygxy连续，),(),(yxgyxf(,)(,)fxygxy，则(,)(,)DDfxydgxyd.③在D上(,)fxy连续，(,)0fxy(,)0fxy，则(,)0Dfxyd.(5)设mM,分别是),(yxf在闭区域D上的最大值与最小值，为D的面积，则(,)DmfxydM；(6)（二重积分的中值定理）设),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(，使得(,)(,)Dfxydf．二、二重积分的计算1.直角坐标系下（1）X型区域先对y积分如果区域D形如12()()xyx,bxa,则区域特征：平行于y轴的直线与区域交于一个线段.2211()()()()(,)(,)(,)xxbbDaxaxfxydxdyfxydydxdxfxydy.(2)Y型区域先对x积分如果区域D形如12()()yxy,dyc.特征:与x轴平行的直线与区域交于一个线段.2211()()()()(,)(,)(,)yyddDcycyfxydxdyfxydxdydyfxydx一般区域分成若干X型区域和Y型区域.注：后积先定限，限内划条线，先交是下限，后交是上线2.极坐标系下用极坐标系,一般先r后.区域特征:从极点出发的射线与区域交于一个线段.Drdrdrrf)sin,cos(21()()(cos,sin)rrdfrrrdr利用极坐标计算：)(,)(,)(22xyfyxfyxffD：：圆域或其一部分．*积分区域D是r型区域:12()()rr12rrr.注:(1)极点在边界上时,内层积分下限不一定为0（两种情况）;(2)极点在区域内部时,外层积分从0到2，内层积分下限为0.（3）极点在区域外部.(4)掌握常见的极坐标方程:222xyRrR,222()2cosxRyRrRm,222()2sinxyRRrRm.3．二重积分的对称性(1)如果积分区域D关于x轴对称，1D为D在x轴上方的部分,则),(),(,2),(),(,0),(1yxfyxfdfyxfyxfdyxfDD，其中001yyDD或；(2)如果积分区域D关于y轴对称，1D为D在y轴右侧的部分,则),(),(,2),(),(,0),(1yxfyxfdfyxfyxfdyxfDD，其中001xxDD或；(3)如果积分区域D关于变量yx,具有轮换对称性，即D关于直线xy对称，则DDdxyfdyxf),(),(=Ddxyfyxf)],(),([21．三、计算二重积分步骤1．画出积分区域，考察能否利用对称性质简化积分．2．选择坐标系：根据积分区域（边界曲线方程）与被积函数的特点来选择坐标系．3．确定积分次序：在直角坐标系下，根据被积函数的特征与积分区域的类型确定积分次序．注意被积函数为以下特殊函数的情形：xeeexxyx,,2；xxxyxsin,sin,sin2；xxxyxcos,cos,cos2；yeeeyyxy,,2；yyyxysin,sin,sin2；yyyxycos,cos,cos2．4．确定积分的上、下限．5．计算二次积分．四、分区域函数的二重积分若2211),(,),(),(,),(),(DyxyxfDyxyxfyxf，则1212(,)(,)(,)DDDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyII．Ⅲ.题型与例题一．概念与性质方法：1.性质（*不等式，化为一元函数讨论）2.重积分是与积分变量无关的常数【例1】设dyxID221cos，dyxID)cos(222，dyxID2223)cos(，其中}1|),{(22yxyxD，则[]．(A)123III．(B)321III．(C)312III．(D)213III．分析：用重积分的不等式性质比较二重积分大小，关键在于比较22yx、22yx与222)(yx在区域}1),{(22yxyxD上的大小.【解】在区域}1),{(22yxyxD上，令22rxy有40r2r12r，由于xcos在)2,0(上为单调减函数，于是0cosr2cosr4cosr，即220cosxy)cos(22yx222)cos(yx，因此dyxD22cosdyxD)cos(22dyxD222)cos(，故应选)(A.注：(,)fxy不变，D变化，比较积分大小.【例2】设),(yxf连续，且Ddxdyyxfxyyxf),(),(，其中D是由1,,02xxyy所围区域，则),(yxf等于[]．(A)xy．(B)xy2．(C)81xy．(D)1xy．【解】设(,)fxyxyC,代入方程,得201031121)()(xDCxydyCxydxxydxdyCxyxyCxy解得81C，所以，81),(xyyxf.故应选)(C.二.二重积分的计算方法：1.直角坐标2.极坐标【例3】计算二重积分Ddxdyxyy2，其中D是由直线0,1,xyxy所围成的平面区域．分析:选择积分次序，先考虑区域，再考虑函数【解】二重积分.先对x积分.1002210022)(1yyDxyydxyydyydxxyydydxdyxyyI9232)(110210022dyyxyydxyydyyy.【例4】计算二重积分Ddxdyy，其中D是由直线2,0,2yyx以及曲线22yyx所围成的平面区域．分析：1.直角坐标系下的积分次序.2.可加性【解1】}20,22|),{(2yyyxyxD202202202220)1(14222dyyydyyyyydyydxdydxdyyyyD24cos)sin1(4sin1202tdytty【解2】}20,02|),{(21yxyyyxDdxdyydxdyydxdyyDDDD11，420021ydydxdxdyyDD在极坐标下}sin20,2|),{(1rrD，则2sin38sin242sin2021ddrrddxdyyD，所以24dxdyyD．【例5】（12218）计算二重积分Dxyd，其中区域D为曲线1cos(0)r与极轴围成.【解】1cos200cossinDxyddrrdr142401116cos(1cos)cossin2()415tdttdt.三．利用对称性求二重积分【例6】（12206）设区域D由曲线sinyx，2x，1y围成，则5(1)Dxydxdy())(A.)(B2.)(C2.)(D.【解】由对称性5(1)Dxydxdy.故选)(D.【例7】设区域}0,0,4|),{(22yxyxyxD，)(xf为D上的正值连续函数，ba,为常数，则Ddyfxfyfbxfa)()()()([]．(A)ab．(B)2ab．(C))(ba．(D)2ba．【解】由轮换对称性，有dyfxfyfbxfaD)()()()(dxfyfxfbyfaD)()()()(=dxfyfxfbyfayfxfyfbxfaD])()()()()()()()([21=.2241222babadbaD应选)(D.四．交换次序方法:1.21()()(,)bxaxdxfxydx(,)ddDfxyxy21()()(,)dycydyfxydx.2.21()()(cos,sin)rrIdfrrrdr(,)ddDfxyxy.【例8】计算121124yyxdyedxdxedyyyxy121分析:此次序下无法计算.二合一.【解】121124yyxdyedxdxedyyyxy121dyedxxxxy2121.2183ee【例9】（12303）设函数()ft连续，则二次积分22202cos()dfrrdr())(A2224222202()xxxdxxyfxydy.)(B22242202()xxxdxfxydy.)(C22212222011()yydyxyfxydx.)(D222122011()yydyfxydx.【解】)(B.五.分片函数(隐含)的积分【例9】设}0,0,2|),{(22yxyxyxD,]1[22yx表示不超过221yx的最大整数,计算二重积分Ddxdyyxxy]1[22.解题思路去掉取整函数符号，将积分区域分片.当被积函数为分片函数时应利用积分的可加性分区域积分.【解】令}0,0,10),{(221yxyxyxD，}0,0,21),{(222yxyxyxD.则Ddxdyyxxy]1[22=122DDxydxdyxydxdy41233220001sincos2sincosdrdrdrdr=113.848六.广义二重积分（数三）方法：1.D无界2.(,)fxy无界【例10】设其它,00,21,),(2xyxyxyxf，求积分Ddxdyyxf),(，其中}2|),{(22xyxyxD．【解】dxdyyxfD),(2049)(212221222dxxxxydyxdxxxx.【例10*】（12316）计算二重积分xDexydxdy,其中区域D是以曲线yx,1yx及y轴为边界的无界区域.【解】由1yxyx得交点坐标(1,1)110xxxxDexydxdydxexydy