第二章_应力分析

1第二章应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。第1节内力和外力1.1外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。1．外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。量纲：力/（长度）3。求V中任意点P上承受体力采用极限方法：kZjYiXkfjfifeffVFzyxiiVlim0其中zyxfff,,为沿三个坐标轴分量。2.外部面力：作用在物体外部表面力，如静水压力、土压力等。量纲：力/（长度）2。求物体表面上任意一点P上受面力仍采用极限方法：kZjYiXkFjFiFeFSFPzyxiiSlim01.2内力：物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N、M、Q形式出现，但在弹力中以应力来描述。PX1X3X2VFPX1X3X2SF2第2节应力和应力张量2.1应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为两部分：（作用力与反作用力）一部分：V、S、外法线n、合力F；另一部分：V、S、外法线n、合力F；截面上的合力：0FF或FF截面上P点上的内力情况，在V+上S面围绕P点取S，S上合力为F。应力矢量（作用在V+）：SFtSnlim0)(应力矢量与P点位置有关，与截面方向（n方向）有关。（应力矢量具有一个方向性）。量纲为力/（长度）2。取V-：)(00)(limlimnSSntSFSFt，作用在V-上。当P点的截面与坐标面平行时，)(ien，intt)(。定理2.1：过P点以n为单位外法线截面上的应力矢量，)(nt是作用在通过P点坐标平面的应力矢量)()1(xtt、)()2(ytt、)()3(ztt的线性函数、其系数是n的方向余弦，F+F-n+n-V+V-S+S-FnSPV+3lnnx1、mnny2、nnnz3。即ntmtltntntntnttzyxiin)()()(3)3(2)2(1)1()()(,,1SnPBCSABC0)()(VfStStiin而SnSttiiii,)()(代入上式，并忽略高阶微量0)()(SntStiin或)()(iintnt展开为3)3(2)2(1)1()(ntntnttn或ntmtlttzyxn)()()()(2.1应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x1jxjjjzxzyxyxxxxeeeeeeeett1313212111)()1(x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBAt(1)x1(x)x3(z)x2(y)111213,,32SnPABSnPAC4同理，得jyjjjzyzyyyxyxyeeeeeeeett2323222121)()2(jzjjjzzzyzyxzxzeeeeeeeett3333232131)()3(沿三个坐标面的应力矢量)(it由九个元素(分量)表示,这九个分量组成一个二阶张量：zzyzxyzyyxxzxyxzzzyzxyzyyyxxzxyxx333231232221131211（1）这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。矩阵中，对角线元素)(jiij代表以i轴为法线的平面上的正应力。非对角线元素)(jiij代表以i轴为法线的平面上沿j轴方向的剪应力。矩阵（1）中，由于yxxy，zxxz，yzzy；即，ijji，所以矩阵中9个应力分量中独立的分量只有6个.3.2.主平面、主轴、主应力3.2.1、一点的应力状态由于ntmtlttzyxn)()()()(，即，zzyyxxnltltltt)()()()(由0Xzzxyyxxxxlllt由0Yzzyxxyyyyllltjjijijillt（3.1）由0Zzxzyyzzzzlllt由上式可看出：当一点处的应力张量已知时，可确定出过该点任意平面上的应力沿三个坐标州的分量)3,2,1iti（，由此可进一步求出该平面上的正应力n和剪应力n。其中，正应力为矢量t在法线n上的投影，即二者的点积。223222122nnnjiijiinttttllltnt3.2.2、坐标变换5当物体受外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同他们的分量是不一样的，但不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循一定的规律。例：当坐标系Oxyz转换为另一坐标系O‘x‘y‘z，新旧坐标系之间的变换关系如表3.1所示，其中，ijl为x轴在旧坐标系中jx轴方向的投影，即ijl=cos(ix,jx)——ix,jx为ix轴与jx轴之间的夹角。求：新旧坐标系下应力分量和之间的关系解：（1）令x轴为法线的坐标平面上的应力分别为x、xy、xz，如表所示，x轴在旧坐标系中的方向余弦为131211lll、、。根据公式（3.1）知，此坐标平面上的总应力在三个旧坐标轴上的分量应为，jijilt1将it与x轴作内积得到这个坐标平面上的正应力x=ijjijijiiilllllt11111=231312332131313112221212111211211222lllllllll如表所示，y轴在旧坐标系中的方向余弦为232221lll、、。将it与y轴作内积得到这个坐标平面上的剪应力xyxy=itil2=il2jijl1=jl1il2ij如表所示，z轴在旧坐标系中的方向余弦为333231lll、、。将it与z轴作内积得到这个坐标平面上的剪应力xzxz=itil3=il3jijl1=jl1il3ij综上所述，可得：mnjnmjll11（a）同理可得：以y轴为法线的坐标平面上的应力yx、y、yz以及以z轴为xyzxl11l12l13yl21l22l23zl31l32l336法线的坐标平面上的应力zx、zy、z。且，mnjnmjll22(b)mnjnmjll33(c)将(a)、(b)、(c)三式写成通式，则得：mnjnimijll——新旧坐标系应力分量之间的关系。（2）讨论：平面应力问题（仅x、xy、y不为零）。此种情况下的新旧坐标系之间的转换关系如表3.2所示。表3.2根据上面的通式，可得：sin2cos)(21)(212212121121111xyyxyxyxyxmnnmxllllll2cos2sin)(21cossin)()sin(cos2221xyxyxyxymnnmxyllsin2cos)(21)(2122xyyxyxmnnmxll0yzxzz3.2.3.主平面、主轴、主应力、应力不变量一、主值的概念设A为一二阶张量，A=aij（i=1,2,3;j=1,2,3）,与空间中任一矢量n作内积，得另一矢量m，即：An=m（2.18）若矢量m与矢量n共线，即得:m=n（2.19）式中，称矢量n为二阶张量A的主轴，为二阶张量A的主值（为一具体的数值）。由公式（2.18）和（2.19）可得：An=n（2.20）上式用下标记号法可表示为：aijlj=lixyzxcossin0y-sincos0z001xxyyyxxyxyxyxyx7（2.21）二、主平面、主轴、主应力由于应力（应变）张量为对称的2阶张量，所以一定存在3个主轴和相应的主值。现设某个主轴为n，方向余弦为li(i=1,2,3),相应的主值为，则存在有下式ijlj=li(3.7)设以n为法线方向的平面上的应力在三个坐标轴上的投影为pi,则得：pi=ijlj将公式（3.8）代入（3.7）得，pi=li(3.8)此式表明，此平面上的应力方向与法线相同，即此平面上只有正应力，没有剪应力，此正应力称为主应力，其值为：=n=pili=lili=（3.9）223222122nnnjiijiinttttllltnt讨论：1、主应力即为与主轴n相应的主值，对于一个对称的2阶张量，存在三个主值和相应的主轴。以主轴为法线的平面称为主平面。2、由于三个主轴为相互垂直关系，若以此三主轴为坐标轴建立主坐标系，则主坐标系中的应力分量应为：321000000（3.10）从上式可看出：主坐标系中的应力张量具有最简单的形式，它的矩阵为对角矩阵。三、应力不变量对于对称的二阶张量有三个不变量，分别表示如下：82223222212)(xyzxzyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxxzxxzxzzyyzyyyxxyxzyxIII（3.11）讨论：（1）当主轴为坐标轴时，三个不变量分别为：3211＋＋＝I，2332212＋＋＝I，3213I（3.12）（2）主应力方程根据公式（3.7）和（3.9）可得：ijlj=li(3.14)展开上式，得：zzzyzyxzxyzyzyyxyzxzxzyxyxxllllllllllll（3.15）上式可转变为：000zyxzzyzxyzyyxxzxyxlll（3.16）上式若有非零解，系数行列式值必为零，即：0zzyzxyzyyxxzxyx9将上述行列式展开，即得主应力方程032213III（3.16）求解主应力方程，可求得主应力1、2、3的大小。将三个主应力分别代回式（3.15）式，即可求得相应的主轴，并可证明三主轴是相互正交的。几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，且321时，133221,,nnnnnn；（2）当有一个重根时，如321，则与3n垂直平面内任何方向均为主应力，为21；（3）当321，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态。3.3.应力张量的分解和应力偏张量3.3.1.应力张量的分解如图，此平面上的应力p在三