第二章_清华数字电子技术第五版阎石课件.

第二章逻辑代数基础逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数。逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0和1两个可取值，它们分别用来表示完全两个对立的逻辑状态。在逻辑代数中，有与、或、非三种基本的逻辑运算。逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：0/12.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：与条件同时具备，结果发生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY000010100111或条件之一具备，结果发生Y=AORB=A+BABY000011101111非条件不具备，结果发生ANOTYAAY0110几种常用的复合逻辑运算与非或非与或非几种常用的复合逻辑运算异或Y=ABABY000011101110几种常用的复合逻辑运算同或Y=A⊙BABY0010101001112.3逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。2.3.1基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式101′=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A证明方法：推演真值表交换律：A+B=B+AA·B=B·A结合律：A+B+C=(A+B)+CA·B·C=(A·B)·C分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+ACA·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互补律：重叠律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+BA+B=A·B摩根定理公式（17）的证明（公式推演法）：左右BCABCCBABCACABACABA)())((1公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2.4.1代入定理应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理应用举例：式（8）CBABCACBABCBBABA)()()(代入以2.4逻辑代数的基本定理2.4.2反演定理-------对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量，，，，0110YY变换顺序先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变2.4.2反演定理应用举例：DCBDACBCADCCBAYCDCBAY))(()(2.5.1逻辑函数Y=F(A,B,C,······)------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换•真值表输入变量ABC····输出Y1Y2····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。卡诺图EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDLEDIFDTIF。。。举例：举重裁判电路ABCY00000010010001101000101111011111)(CBAY各种表现形式的相互转换：真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表逻辑式：1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。)(CBAY逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。)(BAB)(BAA(()())ABABBABABABABABABA))(())()((波形图真值表ABCY00000011010101101000101111001111最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项）（4个22,,,ABBABABA）8个（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,,,,,,2.5.3逻辑函数的两种标准形式最小项之和最大项之积对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；CBABCACBACBACBACABABCCBAABC0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个变量的所有最小项的真值表最小项的性质最小项的编号CBABCACBACBACBACABABCCBA三个变量的所有最小项的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m表示最小项,下标i为最小项号。ABC0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001CBABCACBACBACBACABABCCBACBABCACBACBACBACABABCCBA逻辑函数最小项之和的形式：例：),,()(),,(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式可将任何一个函数化为1AAim逻辑函数最小项之和的形式：例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(..........................................................................)()(),,,(逻辑函数最小项之和的形式：例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(..........................................................................)()(),,,(逻辑函数最小项之和的形式：例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(..........................................................................)()(),,,(逻辑函数最小项之和的形式：例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(..........................................................................)()(),,,(逻辑函数的最小项表达式(,,)()()LABCABCCABBC为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。例1将(,,)LABCABAC化成最小项表达式ABCABCABCABC=m7＋m6＋m3＋m5(7,635)m,,()LABCABCABCABCABC逻辑函数的最小项表达式：(,,)()LABCABABCAB例2将化成最小项表达式a.去掉非号()()LA,B,CABABCAB()ABABCAB()()ABABCABb.去括号ABCABCAB()ABCABCABCCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm最大项：M是相加项；包含n个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A,B的最大项对于n变量函数2n个）4个（22BABABABA,,,最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项的编号：最大项取值对应编号ABC十进制数1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0CBACBACBACBACBACBACBACBAimYikkmYikkmY)(kikkikMmY2.5.4、逻辑函数形式的变换例：从与或式变为与或非式Y=AC+BC′=[(AC+BC′)′]′=[(AC)′(BC′)′]′=[(A′+C′)(B′+C)]′=[A′B′+A′C+B′C′]′=[B′C′+A′C]′2.6逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式最简与或------包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。CBACYACDCBABCY212.6.1公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。例：DBCBADCDBCBADEBAADCDBCBACDEBACBADCDBCBACCBADEBADBCACBADCDBCBACY