第二章内积空间

３９第二章内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在nR中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1设V是R上的线性空间，如果V中每对向量,xy，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)xy与之对应且满足：),(),(.1xyyx),(),(.2yxyx，R),(),(),(.3zyzxzyx，zV0),(.4xx等号成立当且仅当x则称(,)xy为V的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()VR为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(xxx为x的长度或模。例1在[]nPx中定义10((),())()()fxgxfxgxdx，(),()[]nfxgxPx，则[]nPx构成一个欧氏空间。例2在nnR中对,nnABR定义T(,)tr()ABAB,则nnR为欧氏空间。证明因为,,,nnABCRR（1）TTTT(,)trtr[()]tr(,)ABABABBABA（2）TT(,)trtr(,)ABABABAB（3）TTT(,)tr[()]tr[](,)(,)ABCABCACBCACBC４０（4）211(,)tr()0nnTijjiAAAAa等号当且仅当A成立故nnR为欧氏空间。例3,nxyR定义T(,)xyxy，则nR是n维欧氏空间。例4设A为n阶正定阵且,nxyR定义T(,)xyxAy，则nR是n维欧氏空间。证明,,,nxyzRR（1）TTTT(,)[](,)xyxAyxAyyAxyx（2）T(,)(,)xyxAyxy（3）TTT(,)()(,)(,)xyzxyAzxAzyAzxzyz（4）因为TxAx正定二次型，故T(,)0xxxAx，T0xAxx注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。矩阵共轭及共轭转置：设nnAC1.()ijmnAa，()ijmnAa，称A为A的共轭。2.ABAB，,mnABC。3.ABAB，,mssnABCC。4.记THAA，HA称为A的复共轭转置矩阵，mnAC。5.THTAAA，mnAC。6.HHH()ABAB，,mnABC。7.HH()kAkA，kC。8.HHH()ABBA，,mssnABCC。9.HH()AA，mnAC。10.若HAA，则称A为埃尔米特（Hermite）矩阵，nnAC。４１11.若HAA，则称A为反埃尔米特矩阵，nnAC定义2设V是C上的线性空间，若Vyx,有(,)xyC且满足：),(),(.1xyyx),(),(.2yxyxC),(),(),(.3zyzxzyx，zV0),(.4xx等号成立当且仅当x则称(,)xy为V的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()VC为复内积空间或酉空间，称21),(xxx为x的长度或模。例5在nC中定义H(,)xyxy，则nC是酉空间。注：在nC（nR）中定义的内积H(,)xyxy（Txy）称为标准内积。以后若无特殊说明，nC（nR）及其子空间的内积均采用标准内积。例6在mnC中对,mnABC定义H(,)tr()ABAB,则mnC为酉空间。证明与例2类似，请读者自证。二、欧氏空间与酉空间的性质定理1：设(,)xy是酉空间V的内积，则（1）(,)(,)xyxy，,xyV，C（2）(,)(,)(,)xyzxyxz，,,xyzV（3）1111(,)(,)mrmriijjijijijijxyxy，其中,ijC，,ijxyV，1,2,,im，1,2,,jr。证明（1）(,)(,)(,)(,)xyyxyxxy（2）),(),(),(),(),(),(zxyxxzxyxzyzyx（3）由定理1的（2）得４２1111(,)(,)mrmriijjiijjijijxyxy11(,)mriijjijxy11(,)mrijijijxy上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即推论1设(,)xy是欧氏空间V的内积，则（1）(,)(,)xyxy，,xyV，R（2）(,)(,)(,)xyzxyxz，,,xyzV（3）1111(,)(,)mrmriijjijijijijxyxy其中,ijxyV，,ijR，1,2,,im，1,2,,jr。定理2设(,)xy是酉（欧氏）空间V的内积，则（1）kxkx，kC（kR）。（2）(,)xyxy，柯西—许瓦兹（Cauchy––Schwarz）不等式（3）xyxy证明不妨设V是酉空间。（1）(,)(,)kxkxkxkkxxkx。（2）y时显然，不妨设y，考虑),(02yxyxyx),(),(),(),(2yyxyyxxx取),(),(yyxy，则2222222(,)(,)(,)0xyxyyxxyyy４３所以yxyx),(（3）2(,)xyxyxy22(,)(,)xxyyxy22Re(,)xxyy222(,)xxyy，由柯西—许瓦兹不等式，即得2xy2222()xxyyxy所以yxyx三、内积在基下的矩阵线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。定义3：设12,,,n为欧氏（酉）空间V的基，则称nnijaA)(为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵，其中njniajiij2,1,2,1),(。定理3设12,,,n为酉空间V的基，则（1）内积在基下的矩阵A是埃尔米特矩阵，即HAA。（2）H(,)xyxAy，其中(xxn~),,21，(yyn~),,21，,nxyC。（3）nxC均有H0xAx。证明（1）由于jiijjiijaa),(),(，故HAA。（2）设TT1212(,,,),(,,,)nnxxxxyyyy，由定理1有11(,)(,)nniijjijxyxy11(,)nnijijijxy４４H11nnijijijxyaxAy（3）(xx12,,,)nx，所以H(,)0xAxxx。在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。推论2设12,,,n为欧氏空间V的基，则（1）内积在基下的矩阵A是实对称阵，即TAA。（2）T(,)xyxAy，其中(xxn~),,21，(yyn~),,21，,nxyR。例73(),()[]fxgxPx，定义20((),())()()fxgxfxgxdx，则3[]Px为欧氏空间，求内积在基21,1,(1)xx下的矩阵。解21102adx，2120(1)0axdx，221302(1)3axdx222202(1)3axdx，23230(1)0axdx243302(1)5axdx因为A是实对称阵，所以2203200322035A。定理4设欧氏（酉）空间的内积),(yx在两组基12,,,n和12,,,n下的矩阵分别为BA,，且12(,,,)(n12,,,)nP，则HBPAP，即B与A合同。证明：设(),(,),(),(,)ijnnijijijnnijijAaaBbb，12()nPppp，则12(,,,)(n12,,,)nP=12(,,,)n12()nppp所以i12(,,,)nipj12(,,,)njp４５故由定理3有H(,)ijijijbpAp所以H()()ijnnijnnBbpApHHH11121HHH12nnnnnpAppAppAppAppAppApH11H[]nnpApAppH1H1H[]nnpAppPAPp§2.2向量的正交与标准正交基一、向量的正交与标准正交基定义1设V为欧氏（酉）空间，,xyV，如果(,)0xy，则称向量x与y正交，记为xy。在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个欧氏（酉）空间，则向量在这两个欧氏（酉）空间的正交性不一定相同，如下例。例1在[]nPx中定义内积111((),())()()fxgxfxgxdx，得欧氏空间1V，定义内积120((),())()()fxgxfxgxdx，得欧氏空间2V，取2(),()fxxgxx，则在1V中2xx，在2V中x与2x不正交。定义1设V为欧氏（酉）空间，12,,,m是V中非零向量组，如果12,,,m两两正交，则称12,,,m是正交向量组。若12,,,m是正交向量组且都是单位向量（即12||||||||||||1m），则称12,,,m是标准正交向量组。定理1正交向量组是线性无关向量组。４６证明设12,,,m是正交向量组，令1122mmkkk，则因为1,(,)0,ijijijij所以1122(,)mmikkk1(,)mjjijk(,)00,1,2,,iiiikkim故12,,,m线性无关。定义2若12,,,n为欧氏（酉）空间的基且为标准正交向量组，则称12,,,n为标准正交基。定义3设()nnnnACR，若HHnAAAAI(TTnAAAAI)，则称A为酉矩阵（正交阵），全体n阶酉（正交）矩阵构成的集合记为()nnnnUE。下列为酉矩阵的简单性质，设,nnABU，则1.H1AA2.TnnAU3.nnABU4.|det|1A证明HHdetdetdet1nnAAIAAI，即detdet1AA，|det|1A5.A的特征值模为1，即|()|1A。证明设是A的特征值，则存在nxC，使得Axx，所以HH()()AxAxxxHHHxAAxxx即1，|()|1A４７6.A、TA和HA的列分别构成nC的标准正交基。证明只证A的列构成nC的标准正交基，其余类似。设12[]nA，由HnAAI得H1H212H[]nnnI所以H1,(,)0,ijijijijij定理2设12,,,n为酉（欧氏）空间V的标准正交基，则内积在基下的矩阵为单位阵，从而内积(,)Hxyxy，其中,xy分别为,xy在基12,,,n下的坐标。证明设1212[,,,],[,,,]nnxxyy，因为1,(,)0,ijijijijaij所以()ijnnnAaI，所以由§2.1定理3得HHH(,)nxyxAyxIyxy定理3酉（欧氏）空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉（正交）矩阵。证明不妨设V是酉空间，设12,,,n，12,,,n是V的两个标准正交基，P为由12,,,n到12,,,n的过渡矩阵。由§2.1定理4知内积在这