第二章单自由度系统振动.

第二章单自由度系统振动第一节概述一、单自由度系统模型二、研究单自由度数系统振动目的1.研究最低阶自由振动频率附近的振动特性2.是振动学理论基础图2—1单自由度系统模型ox)(tFckmstFOxmgxm三、线性系统1.叠加原理输入机振系统输出激励F(t)响应x(t)若)(1tF)(1tx)(2tF)(2tx若输入:)()(2211tFtF)()(2211txtx则输出:即：几个激励函数共同作用产生的总响应是各响应函数的总和。叠加原理三、线性系统2.线性方程描述一般机械系统并不是线性的,例如单摆m90mg(90)0mmgcos0gl为线性方程10()xxxFt0Sing为非线性方程sin微振动时:质点仅在弹性恢复力作用下运动第二节无阻尼自由振动(1)xmkxm二、运动方程解:一、运动方程:设nkm0mxkx(1)20nxx(2)设txBe(3)(3)代入(2)得:220n特征方程∴121212nnjtjtttxBeBeBeBe1212()()nnBBcostBBsint1nj2nj0lxOxmj0000,ttxxxx设初始条件为:sin()nxAt或(5)三、对初始条件响应2212ADD式中:112DtgD则2200020,tnnxxAxgx12nnxDcostDsint(4)代入(4)或(5)得:00cossinnnnxxxttsin()nAt(6)∴121212nnjtjtttxBeBeBeBe1212()()nnBBcostBBsintj式中D1和D2应为实常数，B1和B2应为共轭复数四、运动特性分析sin()nxAtoxATxtop1.简谐性2.周期与初始条件无关3.振幅与初位相取决于初始条件4.常力的影响:振动中心移到静平衡置5.固有频率的计算方法振幅固有频率初相位22nmTk五、常力对自由振动的影响sin()nssmgxAtksin()nxAtmxkxmgmxmgkx()smxmgkxmxkx0mxkxkl0Oxsm(2)坐标原点取在静平衡置kl0O'xsm(1)坐标原点取在弹簧原长mxkxmg()skxmgmx六、应用能量法求运动方程、固有频率1.求运动方程T+U=E（常数）（1）式中：动能212Tmx将所求T，U代入方程（1）可得运动方程2.求固频maxmaxTU由求固频扭转振动221kUkθ扭转系数势能212Ukx七、固有频率的计算方法20nxxnskkggmmg2.静变形法1.运动微分方程法3.能量法sin()nxAt222211cos()22nnTmxmAt22max12nTmAmaxmaxTUnkm22211sin()22nUkxkAt2max12UkAkxm八、应用能量法求方程、固频解：系统振动方程为：sin()nxAt22maxmax1122UkxkA2201122TmxJ2222211132224xTmxmrmxr222maxmax3344nTmxmA2012JmrxrmaxnxA由maxmaxTU得：23nkmcos()nnxAtmrkx例.求图示系统固频。均质园盘质量为m,半径r,弹簧刚度为k,盘在水平面上作没有滑动的滚动。302mxkx()0dTUdt2231()042dmxkxdt302mxxkxx3()02xmxkx0x无意义运动方程2231,42TmxUkx九、用广义刚度求固频Fkx弹簧刚度:弹簧单位变形所需力:广义刚度:质点m在运动方向上单位位移所需力。mx0EIF33FEI33FEIk33nkEImm例：如图在方向上广义刚度mx挠度例1并联弹簧系统的固有频率12()0mxkkx12nkkm2.静变形法12smgkk12nskkgm3.能量法(以静平衡位置为势能零点)22max12nTmA12nkkm1.运动微分方程法(以静平衡位置为原点)12()kkxmxmst1k2kPxm12ekkk例2串联弹簧系统的固有频率kexmF1km2kFx1x2x11Fxk22FxkeFxk12xxx12111ekkk则：1212ekkkkk1212()enkkkmkkm思考题：求串、并联弹簧系统的固有频率求图示系统固频1k1kEIm22kst1k2kPxm1km2kFx1x2x悬臂梁刚度:33EIkenkm12ekkk1212ekkkkk例3无重弹性梁对初始条件响应如图所示，在无重弹性梁的中部放置质量为m的物体，其静变形为2mm。如将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。stFOmgx解分析:(1)系统运动方程应为:()nxAsint22100020,nnxxAxtgx(2)nskgm此无重弹性梁相当于弹簧，其静变形相当于弹簧的静变形，故：70rad/snstg初始条件：002mm,0xx2200(/)2mmnAxx系统的振动规律：2cos70(mm)xt00arct()2nxgxstFOmgx例4求初始条件响应质量m=0.5kg的物块沿光滑斜面(=30°)无初速下滑。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧(k=0.8kN/m)上不再分离。求物块的运动规律。解分析:(1)系统运动方程应为:()nxAsint(2)nskgm22100020,nnxxAxtgxAhA初始条件为：0003.06mm,21.4m/sxxgh0sin()mxmgkx20nxx40rad/sn2220000/35.1mm,arctan(/)0.087radnnAxxxx35.1sin(400.087)mmxt物块运动方程为：以物块的静平衡位置O为坐标原点，建立坐标系。受力图如图示。物块的运动微分方程为：xxoOmgNFhAAAA0kxmxsinmg0sinkmg0kxxm例5、考虑弹簧质量求系统固频图示系统,弹簧长为,单位长质量为求固频。kxmFd解:势能最大为2max12UkA求动能:质量m动能:2112Tmx弹簧动能:222011()223Txxd22max1()23nTmAmaxmaxTU3neqkkmm系统动能:2121()23TTTmx例6、一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物。重物重W，以速度v等速下降。如突然制动，钢索上端突然停止，求钢索的最大张力。弹簧刚度为k。Wv(a)Wkv(b)xomkW=mg(c)解:正常工作时，重物等速下降，钢索张力T1=W；钢索为弹性体，系统可表示为图（b）的形式；系统的固有频率为：gWkn/系统的初始条件为：v(0)x0,x(0)代入方程：可求得A)sin()(tAtxn由此得振动引起钢索的张力为：T2=kA；总张力T=T1+T2突然停止，把这一时刻作为时间的起点t=0，并以这一时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）的形式；思考题：求图示系统固频,悬臂梁均质,单位长度质量为,其它参数如图。挠度曲线方程为：333236pyEI2332330123263pxTdpEIEI12TTT2112Tmx23132EIUxmaxmaxTUnsin()nxAtmEIdxp上次课重点一、单自由度系统模型二、线性系统1.叠加原理2.由线性方程描述10()xxxFt三、无阻尼自由振动1.运动方程:0mxkx2.运动方程解:sin()nxAtnkm2200020,tnnxxAxgx四、坐标原点取在静平衡置上次课重点五、固有频率的计算方法20nxx(1)运动微分方程法:(3)能量法maxmaxTU()0dTUdt2.应用能量法求方程:六、广义刚度1,并联弹簧等效刚度:12ekkk2.串联弹簧等效刚度:1212ekkkkk(2)静变形法nskgm系统统运动方程应为:七、求对初始条件响应()nxASint22100020,nnxxAxtgx第三节有阻尼自由振动3.库仑阻尼一、常见阻尼1.粘性阻尼(线性阻尼)粘性阻尼力大小与速度成正比，方向与速度相反。Fcx2.结构阻尼本节重点(1)有阻尼自由振动特点(2)阻尼参数识别二、运动方程应用达郎伯原理求运动方程三、运动方程解kxcxkcxommxm0mxcxkx(1)txBe设:代入(1)得:特征值方程02kcmmkmcmc22,1)2(20)2(2mkmc若：tteBeBtx2121)(则方程的通解变为tmcetBBtx)2/(21)()(212,20n0d00d0n0xxxAxtgxx四、运动特性分析:1.小阻尼(1)21,21nnjsin()ntdxAet衰减振动0)2(20mkmc即：mkc20出现重特征值时，阻尼系数为临界阻尼系数，用c0表示：系统实际阻尼系数与临界阻尼系数之比，称为阻尼比，用表示：nmcmkccc220022xxxnn0mxcxkx21dnn222π211ddnTTTd衰减振动不是周期振动，但仍可定义周期Td及圆频率dT振幅按几何级数衰减，减幅系数()(1)nindnidtTmitTmixAeexAe2ln2ndndT12nT识别阻尼3.大阻尼(1)2.临界阻尼(=1)tnetBBtx)()(21xtox0tan-1x0n)1(22,1ttnneBeBtx)1(2)1(122)(xtox0tan-1x0ckmxa例：建立如图所示系统的运动方程，试确定临界阻尼系数与有阻尼固有频率。xmcFkF解：发生θ角位移振动时有：lxmFFaMck)(2)(mlcakaa整理成：0)()(22lamklamcmklan令：te得：222222,1)()2()(2lamkmlcalamc临界阻尼满足22220)()2(lamkmlacmkalc20mklcacc20)2(112mklcamkland例半振幅法测定阻尼比按题设条件有：11()()2iintnNTintNTiNAAeeAAe11122πln2nnNTNTNTNT0.11ln22πNN本方法可用于测量小阻尼系统(1)的阻尼比。一个具有粘滞阻尼的质点-弹簧系统，在自由振动了N周后其振幅减为原来的50%。求其阻尼比。1ln2nNT故有:五、等效粘性阻尼系数1.原理:非粘性阻尼系统，其运动方程是非线性的，数学上难处理，定义粘性阻尼系统Ce，使二者在每一循环中损失能量相等。2.粘性阻尼在一个周期所耗散能量:.cos()dFcxcAt阻尼力:对于简谐振动:sin()xAt一个周期所耗散能量:2422100AEcxdxcxdtcA