第二章命题逻辑.

--进入--第二章命题逻辑第一节命题逻辑概述2019年12月19日星期四3命题（1）西南大学在重庆。（2）闪光的东西都是金子。（3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。上述（1）是真命题;而（2）、（3）是假命题。命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：命题的主要特征：命题有真假2019年12月19日星期四4命题和语句首先，有的语句不能直接表达命题，如：（1）西南大学在重庆吗?（2）请把门关上！一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如：“所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。再次，同一语句，可以表达不同的命题，如：小张将书还给小王，因为他要回家了。任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：2019年12月19日星期四5命题和判断一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被断定就与断定者的知识水平有很大关系。充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的只是前件是后件的充分条件。判断：就是被断定者断定了的命题。判断的主要特征：有所断定。2019年12月19日星期四6语句(直陈句和反诘句)有内涵也有外延。语句的内涵即它表达的命题。语句的外延即真、假这两个真值。采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。我们所说的命题，一般指这种或者为真，或者为假的抽象的语句。语句的内涵和外延语句(直陈句和反诘句)有内涵也有外延。语句的内涵即它表达的命题。语句的外延即真、假这两个真值。采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。逻辑学上所说的命题，一般指这种或者为真或者为假的抽象语句。2019年12月19日星期四7命题的分类模态命题命题非模态命题简单命题复合命题2019年12月19日星期四8命题分析的层次将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待——研究关于联结词的推理(命题逻辑)深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联结词——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)把命题中包含的模态词分析出来——研究关于模态词的推理(模态逻辑)2019年12月19日星期四9推理的种类非演绎推理推理演绎推理复合命题的推理类比推理简单命题的推理归纳推理模态命题的推理溯因推理2019年12月19日星期四10推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推论、推理）关系。例如：小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王有优点”，“所以”标志前提和结论之间的推出关系。推理形式：p且q，所以，q。逻辑学是从两个方面来研究推理的：(1)从前提和结论的真假方面进行(2)从前提和结论的形式方面进行推出关系2019年12月19日星期四11自然演绎系统L自然演绎系统L:由形式语言L的初始符号、公式的形成规则、定义以及一组变形(推导)规则所组成的。逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为取真假值的命题变元，把∧、∨、→解释为真值集上的运算，把p∧q、p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。2019年12月19日星期四12推出关系的双重刻画从语形方面来刻画推出关系从语义方面来刻画推出关系根据L的推理规则能够从A1,A2,…，An推导出B；A1,A2,…，An├LB(n≥1);具有语法推出关系的推理称为形式正确的推理；语形推出关系可表示为：p∧q├Lq。如果在A1,A2,…，An为真的一切解释C中B都是真的。A1,A2,…，Aｎ=CB(n≥1);具有语义推出关系的推理称为有效的推理；语义推出关系可表示为：p∧q=Cq。小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。2019年12月19日星期四13逻辑系统的可靠性和完全性如果有A1,A2,…,An├B当且仅当A1,A2,…，An=B(n≥1)，我们就说这样的形式系统既可靠又完全。这样的逻辑系统能保证从真前提推出真的结论，决不会推出假结论甚至逻辑矛盾。凡是从真前提推出真结论的推出关系都包含在这个逻辑系统中，在系统之外，没有从真前提推出真结论的推出关系。可靠性：语法推出关系都是语义推出关系。完全性：语义推出关系都是语法推出关系。推理的三种不同分析方法2019年12月19日星期四14直言命题推理复合命题推理量化命题推理直言命题推理2019年12月19日星期四15所有的S都是P所以，有些P是S所有的M都是P所以，所有的S都是P所有的S都是M复合命题推理2019年12月19日星期四16如果p则q所以，q如果非p则qP或者非p量化命题推理2019年12月19日星期四17有的学生尊敬所有的老师，所以，所有的老师都有人尊敬。第二章命题逻辑第二节复合命题及其推理2019年12月19日星期四19负命题(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。(2)(3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。负命题的形式:并非p（¬p）负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。负命题是否定一个命题而形成的复合命题。例如：2019年12月19日星期四20负命题由于真值集合只有两个元素{T,F}，因此，用列表的方式表示真值运算最为方便、直观。这种表称为真值表。当p在真值集合｛T，F｝上取真值后，p的真值也唯一确定。所以，p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。的真值表如下：FT¬pp根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数下如下定义：p为真当且仅当p为假；p为假当且仅当p为真。TF真值表的作用2019年12月19日星期四21负命题根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与p相同，真值表如下：FTFTFT¬¬p¬pp由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A¬¬A负命题的推导规则:双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示：A——¬¬A双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示：¬¬A——A2019年12月19日星期四22联言命题（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。（2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。联言命题的形式：p并且q（p∧q）。p称为∧的左辖域，q称为∧的右辖域。p∧q是二元真值函数：f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p和q上进行运算的二元运算。联言命题是由命题联结词“并且”联结支命题而形成的复合命题，又称合取命题。例如：2019年12月19日星期四23FFTFFTTTp∧qqp从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真，p∧q为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。合取词∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧运算的规律:（1）∧的交换律：p∧qq∧p（2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（幂等）律：p∧pp2019年12月19日星期四24合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：AB——A∧B合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下：A∧BA∧B————BA小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├p∧q小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├p。联言命题的推导规则2019年12月19日星期四25选言命题(1)李明或者是诗人，或者是小说家。(2)要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。选言命题的种类：一、相容的选言命题二、不相容的选言命题选言命题用“或者”、“要么”等命题联结词联结支命题而形成的复合命题，例如：2019年12月19日星期四26一、相容选言命题及其推理(1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)(2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错误，或者两种情况都存在。相容选言命题的形式：p或者q(p∨q)相容选言命题逻辑特征：相容选言命题为真，它的选言支至少有一个为真，反过来讲，选言命题至少有一个选言支为真，则选言命题为真。相容选言命题又称弱析取命题，是用“或者”联结支命题而形成的选言命题，例如：2019年12月19日星期四27一、相容选言命题及其推理∨的真值表∨的运算规律FFTFFTTTp∨qqp(1)∨的交换律：p∨qq∨p，(2)∨的结合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r,(3)∨的重言律：p∨pp。TFTT2019年12月19日星期四28一、相容选言命题及其推理∧和∨的混合运算规律(1)∧对∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。(2)∨对∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。(3)吸收律：p∧(p∨q)p；p∨(p∧q)p。(4)德·摩根律：¬(p∧q)¬p∨¬q；¬(p∨q)¬p∧¬q。2019年12月19日星期四29一、相容选言命题及其推理用真值表检验德·摩根律：从上真值表，可得：¬(p∧q)=¬p∨¬q应用德·摩根律的实例:并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。并非小李或者喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜欢体育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp2019年12月19日星期四30一、相容选言命题及其推理析取消去规则(∨－)从A∨B和¬A可推出B；从A∨B和¬B可推出A。A∨BA∨B¬B¬A————AB析取消去规则应用实例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式为：p∨q,¬p├q肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支。下述推理形式均错误：A∨B,A├¬B；A∨B，B├¬A规则：否定一部分选言支，就要肯定其余的选言支。2019年12月19日星期四31一、相容选言命题及其推理析取引入规则(记为∨＋)：析取引入规则(记为∨＋)：从A可推出A∨B；从B可推出A∨B。AB————A∨BA∨B2019年12月19日星期四32二、不相容选言命题及其推理(1)(2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。不相容选言命题是用“要么”联结两个支命题构成的选言命题，例如：形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧(p∧q)p2019年12月19日星期四33二、不相容选言命题及其推理FFTFFTTTpqqp的真值表的运算规律的交换律：pqqP(qr)(pq)的结合律：prFTTF2019年12月19日星期四34二、不相容选言命题及其推理消去规则(记为_):从AB和A可推出B；从AB和B可推出A；ABA——BABB——A从AB和A可推出B；从AB和B可推出A；ABA——BABB——A2019年12月19日星期四35假言命题（1（2（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。由“如果”、“只有”引出的支命题称为前件，由“那么”、“才”引出的支命题称为后件。假言命题的种类一、充分条件假言命题二、必要条件假言命题三、充分必要条件假言命题假言命题是由“如果，那么”、“只有，才”、“当且仅当”等联结词联结两个支命题而形成的复合命题，例如：2019年12月19日星期四36假言命题的种类一、充分条件假言命题(1)只要你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。(2)假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界上最富有的人。充分条件假言命题的形式：如果p，那么q(p→q)在蕴涵式p→q中，p称为→的前件(左辖域)，q称为→的后件(右辖域)。充分条件假言命题亦称条件命题或者实质蕴涵命题,是用“如果，那