第二章多属性决策.

第二章多属性决策2.1MADM的理论基础2.2几种MADM方法2.3层次分析法2.4网络分析法目录2.1MADM的理论基础2.1.1MADM的基本概念2.1.2决策表的规范化方法2.1.3几种常见的综合评价法2.1.1MADM的基本概念多属性决策，也称有限方案多目标决策，普遍存在于工程、社会和经济等系统之中，它是决策理论与方法研究的重要内容。它要解决的主要问题是方案的选优或方案的排序问题。通常，每个多属性决策问题都包含以下五个要素:决策单元和决策人属性集候选方案集决策规则决策情况2.1.1MADM的基本概念一般地，当决策人对候选方案关于属性进行评估之后，评估数据汇总为下面矩阵形式的决策表：111212122212nnmmmnmnyyyyyyyyy2.1.2决策表的规范化方法决策表中的数据的规范化有三种作用：首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。2.1.2决策表的规范化方法决策表中的数据的规范化有三种作用：其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。2.1.2决策表的规范化方法决策表中的数据的规范化有三种作用：第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千、万间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位或小数之间，为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。2.1.2决策表的规范化方法常用的数据预处理方法有下列几种。线性变换对于效益型属性对于成本型属性标准0-1变换对于效益型属性对于成本型属性zij=yij/yjmaxzij=1-yij/yjmaxzij=yyyyijjjjminmaxminzij=yyyyjijjjmaxmaxmin2.1.2决策表的规范化方法常用的数据预处理方法最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为,[yj0,yj*]1-(yj0-yij)/(yj0-yj’)若yij＜yj0zij=1若yj0≤yij≤yj*1-(yij-yj*)/(yj”-yj*)若yij＞yj*2.1.2决策表的规范化方法常用的数据预处理方法有下列几种。向量规范化原始数据的统计处理zij=yyyyijjjj_max_(1.00-M)+Mmiijijijyyz122.1.3几种常见的综合评价法1、加权求和2、几何平均3、TOPSIS方法4、ELECTRE方法5、MAVT法1、加权求和属性间的矛盾性和各属性值的不可公度性可以通过数据的规范化得到一定程度的缓解，但前述规范化过程不能反映目标的重要性。权重，是属性重要性的度量，即衡量目标重要性的手段。一般地，权重有三重含义:①决策人对目标的重视程度；②各目标属性值的差异程度；③各目标属性值的可靠程度。给属性赋予的权重应综合反映三种因素的作用。通过权重，可以将多目标决策问题化为单目标求解。1、加权求和加权和法的求解步骤1、属性表规范化2、确定各指标的权系数3、根据指标的大小排出方案的优劣2、几何平均几何平均法在合成候选方案的评价的时候与算术平均类似。几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，多用于计算平均比率和平均速度。如：平均利率、平均发展速度、平均合格率等。不计权重时考虑权重时nnjijniniiizzzzC1211jnwiijjCz2、几何平均几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄，它有如下特点：①如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算G②G受极端值影响较X和H小；③它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积的情形。对于这类社会经济现象，不能采用算术平均数反映其一般水平，而需采用几何平均数。3、TOPSIS方法TOPSIS是由HwangandYoon所发展出來的一种多属性决策方法，采用与正理想解之相对接近值的方法來进行方案的排序，在选择方案时以距离正理想解最近，而距离负理想解最远的方案为最佳方案。距离的计算则可以以欧几里德几何距离为计算依据。所谓正理想解是各可行方案利益面属性值最大者，成本面属性值最小者；反之，负理想解是各可行方案利益属性则值最小者，成本面属性值最大者。3、TOPSIS方法步骤一.用向量规法求得规范决策矩阵步骤二.构成加权规范阵步骤三.确定正理想和负理想解步骤四.计算各方案到正理想解与负理想解的距离步骤五.计算各方案与理想解的接近程度步骤六.按接近程度由大到小排列方案的优劣次序4、ELECTRE方法ELECTRE(Eliminationetchoixtraduisantlaréalité)法首先1966年被Benayoun等人提出，ELECTRE最主要的概念是去处理方案和方案间使用准则做为评估的级别高于关系(“outrankingrelationship”),即建立方案和方案间的级别高于关系以淘汰较差的方案。5、MAVT法多属性价值理论(Multi-AttributeValueTheory,MAVT)主要是让决策者可以对每个不同的属性准则提供不同的属性价值函数(attributevaluefunction)，结合每个属性价值函數再经过权重总合计算后,便得到每个方案的效用值。2.2几种MADM方法2.2.1实数型MADM方法属性权重完全已知时的实数型MADM方法属性权重完全未知时的实数型MADM方法2.2.2模糊数MADM方法属性权重完全已知时的直觉模糊数MADM方法属性权重完全未知时的直觉模糊数MADM方法2.2.3语言型MADM方法2.2.1实数型MADM方法定义3.设),,,(21naaa是一组给定的数据，函数RRfn:，若niinnanaaanaaaf121211)(1),,,(则称函数f为算术平均算子（arithmeticaveraging(AA)operator）。定义4.设),,,(21naaa是一组给定的数据，函数RRfn:，若nniinnnaaaaaaaf12121),,,(则称函数f为几何平均算子（geometricaveraging(GA)operator）。2.2.1实数型MADM方法定义5.设函数RRWAAn:，),,,(21naaa是一组给定的数据,若niiinwawaaaWAA121),,,(其中Tm),,,(=21w是数据),,,(21naaa的权重向量，]1,0[jw，nj1，11njjw，则称函数WAA为加权算术平均算子。2.2.1实数型MADM方法定义6.设函数RRWGAn:，),,,(21naaa是一组给定的数据,若niwinwiaaaaWGA121),,,(其中Tm),,,(=21w是数据),,,(21naaa的权重向量，]1,0[jw，nj1，11njjw，则称函数WGA为加权几何平均算子。2.2.1实数型MADM方法基于WAA、WGA算子多属性决策方法的步骤如下：步骤一.对于每个候选方案，结合属性权重，利用WAA、WGA算子集结其综合评价。步骤二.根据综合评价的大小对方案排序，选择最优方案je}}max{arg|{*jjejaa2.2.1实数型MADM方法2、属性权重完全未知时的实数型MADM方法定义7.设函数RROWAn:，),,,(21naaa是一组给定的数据，若njjjnbaaaWAA121),,,(其中Tm),,,(21ω是与函数OWA相关联的权重向量，]1,0[j，nj1，11njj，且jb为数据组),,,(21naaa中第j个大的元素，则称函数函数OWA为有序加权算术平均算子(orderedweightedaveragingoperator)。2.2.1实数型MADM方法定义8.设函数RROWGn:，),,,(21naaa是一组给定的数据,若niinibaaaWGA121),,,(其中Tm),,,(21ω是与函数OWA相关联的权重向量，]1,0[j，nj1，11njj，且jb为数据组),,,(21naaa中第j个大的元素，则称函数OWG为有序加权几何平均算子(orderedweightedgeometricaveraging(OWG)operator)。2.2.1实数型MADM方法上述算子的特点是：对数据),,,(21naaa，按从大到小的顺序重新进行排序并通过加权集结。而且元素ia与i没有任何联系。只与集结过程中的第i个位置有关(因此加权向量ω也称为位置向量)．2.2.1实数型MADM方法基于OWA、OWG算子多属性决策方法的步骤如下：步骤一.对于每个候选方案ja，结合关联权重ω，利用OWA算子或OWG算子集结其综合评价je，nj,,2,1。步骤二.根据je的大小对方案排序，选择最优方案}}max{arg|{*jjejaa。2.2.2模糊数MADM方法实际的综合评价问题中，由于人为因素或客观因素的影响，实际的决策问题中常常伴随着许多不确定性，如随机性、模糊性、粗糙性等。因此，随着研究的深入，不确定性多准则决策的研究越来越受到重视。模糊集理论是一种强有力的描述不确定性的工具。不确定环境下地多属性决策问题是近年来的研究热点。自从Zadeh提出模糊集的概念之后，有许多拓展和推广的更适合表示模糊信息的模糊集。以直觉模糊数为例，我们重点讨论该环境下的多属性决策问题。2.2.2模糊数MADM方法定义9.设X是一个非空的有限集。X上的直觉模糊集A定义为：})(),(,{XxxvxxAAA这里对于任意X中的x，]1,0[:XA，]1,0[:XvA，且10xvxAA。函数)(xA,)(xvA和)(xA)()(1xvxAA分别叫做隶属度，非隶属度和犹豫度。二元组))(),(()(xvxx叫做直觉模糊数。事实上，),(v对应[0,1]上的一个闭区间]1,[v。全体直觉模糊数的集合记为H。2.2.2模糊数MADM方法当MADM问题的决策表的数据以直觉模糊数的形式给出时，我们做如下形式的描述。候选方案记作},,,{21mAAAAlt，属性集为},,,{21mCCCC，对应的属性权重为Tm),,,(=21w满足]1,0[jw，nj1，11njjw，方案在属性下的评估值用直觉模糊数表示，即决策表为如下的直觉模糊数构成的矩阵：),(),(),(),(),(),(),(),(),()(221122222221211112121111mnmnmmmmnnnnnmijvvvvvvvvvA2.2.2模糊数MADM方法1.属性权重完全已知时的直觉模糊数MADM方法定义12.设),(iiiv(ni,,2,1)是一组直觉模糊数，其权重向量为Tn),,,(21w满足11niiw，]1,0[iw，ni,,2,1。直觉模糊加权平均（intuitionisticfuzzyweightedarithmetic,IFWA）算子是一个从nH到H的映射IFWA：