第二章平面力系lxy3

1§2–1平面汇交力系§2–2平面力对点之矩、平面力偶§2–3平面任意力系的简化§2–4平面任意力系的平衡条件和平衡方程§2–5物体系的平衡、静定和超静定问题§2–6平面简单桁架的内力计算第二章平面力系2力系的基本概念①汇交力系(planarconcurrentforcesystem)平面力系②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)(planarparallelforcesystem)③一般力系(平面任意力系)(planargeneralforcesystem)力系分为：平面力系(planarforcesystem)空间力系(spaceforcesystem)简单力系：指的是汇交力系、力偶系。①汇交力系空间力系②平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况)③一般力系(空间任意力系)3§2-1平面汇交力系一、平面汇交力系合成的几何法2212122cosRFFFFF)180sin(sin1RF2.任意个共点力的合成为力多边形1.两个共点力的合成由余弦定理：cos)180cos(4结论：即：二、平面汇交力系平衡的几何条件1nRiiFF1234RFFFFF平面汇交力系平衡的充要条件是：RFF0RiFF即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零5AB30ºaaC(a)(b)60º30º60º30º解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：FA=Pcos30=17.3kN，FB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出F、FA和FB的闭合力三角形。例1水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。6OFAFBBFDD(b)JFDKFBFI(c)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。F246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出F、FB和FD的闭和力三角形。例2图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。7cm24EAOE25.0tgOEDEarctg0.25142'sin180sinBFF（5）代入数据求得：FB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：OFASBBNDD(b)JFDKSBFI(c)F246ACBOED(a)8[例3]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。577.0)(tg22hrhrr又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：tgPFcosPNB9由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④求出未知数几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。10FFFXxcosFFFYycos22yxFFF平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影X=Fx=F·cos：Y=Fy=F·sin=F·cos11二、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：12合力的大小：方向：作用点：tgRyRxFF11tgtgRyyRxxFFFF∴为该力系的汇交点三、平面汇交力系合成与平衡的解析法00RxyRyxFFFF平面汇交力系的平衡方程2222()()RRxRyxyFFFFF13BACA[例4]图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q与R的关系。解：1、研究对象：A铰结构60°R30°ABSDBSQ90°45°CASBASCAS1SB铰设杆受拉力，则力背离铰链，受压力，则力指向铰链，ABSBAS14A铰AQ90°45°CASBASB60°R30°ABSDBSB铰A铰2、平衡方程xyxy∑X=0Q－SBAcos450=0SAB－Rcos300=0B铰∑Y=0QQSBA2/cos450RRSAB23cos300∵SBA=SAB612.02:23:RQ讨论：取AB为研究对象RDBSQCASxy15∑X=0Qcos450+SCAcos450－Rcos300=0讨论：取AB为研究对象∑Y=0-Qsin450+SCAsin450－Rsin300－SDB=0RDBSQCASxy45°90°30°60°xy30°60°16例5如图所示的平面刚架ABCD,自重不计,在B点作用一水平力F,设F=20kN。求支座A和D的约束反力。FADBC2m4mPADBCFDFA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。17FADBCFDFA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447Fx=0F+FAcos=0FA=-22.36kNFy=0FAsin+FD=0FD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：18ABClllPl/2例6求图示支座A和B的约束反力。19解：画整体的受力图ABCFFAFBO取O点为研究对象95.0222cos22lllllSin=0.32Fx=00.71FA-0.32FB=0Fy=00.71FA+0.95FB–P=0联立两式得:FA=0.35PFB=0.79P20TBD300FAB150150TBCTBD=GEB例7井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150ABCDE21x300150150TBDTBCGTBD=GFy=0Fx=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150ABCDE22300150150TBDTBCGTBD=GxFx=0-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0Fy=0FAB=45kN-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0yEBTBC=9.65kNFAB解二：300600150ABCDE23解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP[例8]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN24.4tg45cos45sin00PSCDkN16.3cos45cos0CDASR；24[例9]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力N=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为PP-TND3Q60sin2Qsin-Q02由②得060212cos21PPTT由①得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT①②25例10用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。AB30060026BAGAGBFABF/ABNA300NB600xy600300x/y/300300X=0GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)X/=0-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)解：先取A轮为研究对象，受力分析：取B轮为研究对象，受力分析：AB30060027GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)FAB=F/AB(3)由以上三式可得：0060)30(tgGGtgAB（1）当GB=GA时，α=300（2）当α=00时，GB=GA/328[例11]图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。解：1、研究对象：整体或铰链APAABSACS60°2、几何法：PABSACS60°SAC=P/sin600SAB=P×ctg600ABSACS293、解析法：PAABSACS60°Rx=∑X=0SACcos600－SAB=0Ry=∑Y=0SACsin600－P=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600=P×ctg600xy30ABFO（B）ABFO（A）例12：结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）1、研究OA杆2、研究AB杆oFAFBFAFBFoF311、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。325、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。33①是代数量。()OMF当F=0或d=0时，=0。()OMF③是影响转动的独立因素。()OMF⑤=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面积。()OMF力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向转动效应--取决于力矩的大小、方向§2-2平面力对点之矩平面力偶-+()OMFdF一、力对点的矩说明：②F↑,d↑转动效应明显。④单位Nm，kNm。BAFOd矩心Od:力臂34定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和，即：二、合力矩定理()()OROiMFMFOAF1FiF2FnFRr根据nRFFFF.....21上式左右乘上矢径r).....(21nRFFFrFr由此:12()()()......()OROOOnMMMMFFFF35力矩的解析表达式yOxFFOMOyOxMMFFFyFxxysincosyxxFyFxFyF12()()()......()OROOOnMMMMFFFFxiyiiOyFFxMRF合力对坐标原点之矩的解析表达式36例13求力F对点O和A的矩OABFab37[解]OABFabddFMOF是否容易计算力臂d?38[解]OABFabFyFxFOMyOxOMMFFaFbFyxaFbFcossinFAMyAxAMMFF0bFxbFsin39例14三