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1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则l与α的位置关系为________．解析：∵u＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.答案：l⊥α2.平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．答案：垂直3.设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线，∴21＝λ－2＝42，∴λ＝－4.答案：－4[A级基础达标]1.已知直线l的方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为__________．解析：∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α.答案：l∥α或l⊂α2.已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(2，4，1)，且l⊄α，则l与α的位置关系是__________．解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l⊄α，所以l∥α.答案：l∥α3.已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过点A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝__________．解析：由已知得BA→＝(1，y－2，3－z)，依题意BA→∥v，所以12＝y－2－1＝3－z3.所以y＝32，z＝32，得y－z＝0.答案：04.已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，2)，DE→＝(x，－3，6)，若DE∥平面ABC，则x＝__________．解析：若DE∥平面ABC，则存在实数对λ、μ，使得DE→＝λAB→＋μBC→.即λ＋3μ＝x5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6，解得λ＝－1μ＝2x＝5.答案：55.若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则l与α的位置关系为__________．解析：因为v·m＝2－2＋0＝0，v·n＝0＋2－2＝0，所以v⊥m，且v⊥n，又m、n不平行，所以v⊥α，即l⊥α.答案：l⊥α6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝23a，其中a为正方体棱长，求证：EF∥平面BB1C1C.证明：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，则E(a3，a3，0)，F(0，a3，2a3)，故EF→＝(－a3，0，2a3)，又AB→＝(0，a，0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，而AB→·EF→＝(0，a，0)·(－a3，0，2a3)＝0，∴AB→⊥EF→.又EF⊄平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.7.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.证明：连结D1F，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为1.∴D(0，0，0)，E(1，1，12)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，G(1，12，0)，F(0，12，0)．∴AE→＝(0，1，12)，A1G→＝(0，12，－1)，GF→＝(－1，0，0)．∴AE→·A1G→＝0＋12－12＝0，AE→·GF→＝0＋0＋0＝0.∴AE→⊥A1G→，AE→⊥GF→，∵A1G∩GF＝G，∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面A1GF.[B级能力提升]8.若直线a与b是两条异面直线，它们的方向向量分别为v1＝(1，1，－1)和v2＝(2，－3，2)，又a与b的公垂线的方向向量为v＝(x，y，5)，则x＋y＝__________．解析：由已知得v·v1＝x＋y－5＝0v·v2＝2x－3y＋10＝0，所以x＝1，y＝4，故x＋y＝5.答案：59.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B1与平面AD1C的位置关系是__________；A1B与平面DD1C1C的位置关系是__________．解析：A1B1与平面AD1C相交．由A1B∥CD1，又A1B⊄平面DD1C1C，CD1⊂平面DD1C1C，∴A1B∥平面DD1C1C.答案：相交平行10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.证明：(1)直线PA∥平面EDB；(2)直线PB⊥平面EFD.证明：以D为原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD＝DC＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)∵E是PC的中点，∴E(0，1，1)，∵AP→＝(－2，0，2)，DE→＝(0，1，1)，BE→＝(－2，－1，1)，∴AP→＝DE→＋BE→.又PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵BP→＝(－2，－2，2)，又BP→·DE→＝(－2，－2，2)·(0，1，1)＝0，∴BP→⊥DE→，∴BP⊥DE.又BP⊥EF，且EF∩DE＝E，∴直线PB⊥平面EFD.11.(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置．解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a，(1)证明：A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，m)，则A1E→＝(－a，a，m－a)，BD→＝(－a，－a，0)，所以A1E→·BD→＝a2－a2＋0＝0，所以A1E→⊥BD→，即A1E⊥BD.(2)法一：设BD的中点为O，连结OE，OA1，则O(a2，a2，0)，所以OE→＝(－a2，a2，m)，BD→＝(－a，－a，0)，因为△BCE≌△DCE，所以ED＝EB，所以OE⊥BD，又OA1→＝(a2，－a2，a)，所以OA1→·BD→＝0，所以OA1⊥BD，所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角，因为平面A1BD⊥平面EBD，所以∠A1OE＝π2，所以OA1→·OE→＝0，即－a24－a24＋am＝0，∴m＝a2.故当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.法二：E为CC1的中点．证明如下：由E为CC1的中点得E(0，a，a2)，设BD的中点为O，连结OE，OA1，则O(a2，a2，0)，所以OE→＝(－a2，a2，a2)，BD→＝(－a，－a，0)，则OE→·BD→＝0，OE→⊥BD→，即OE⊥BD.又OA1→＝(a2，－a2，a)，所以OA1→·BD→＝0，所以OA1⊥BD，所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角．所以OA1→·OE→＝－a24－a24＋a22＝0，所以OA1→⊥OE→，故OA1⊥OE，即∠A1OE＝π2，所以平面A1BD⊥平面EBD.所以当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.