苏教版数学选修2-1模块综合检测

(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知命题p：∀x∈R，x2＋x－10，则命题﹁p是________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2＋x－1≥02.已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若AB→＝2a，则点B的坐标为________．解析：设B(x，y，z)，则AB→＝(x－1，y＋2，z)，又AB→＝2a，解得x＝－5，y＝6，z＝24，所以B点坐标为(－5，6，24)．答案：(－5，6，24)3.若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．解析：c－a＝(0，0，1－x)，(c－a)·(2b)＝2(0，0，1－x)·(1，2，1)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.答案：24.已知a∈R，则“a2”是“1a12”的________条件．解析：由1a12可得a－22a0，即得a2或a0，∴“a2”是“1a12”的充分不必要条件．答案：充分不必要5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：根据椭圆方程可得c＝25－9＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：ca＝2，c＝4，故a＝2，b＝c2－a2＝23，故其渐近线方程为y＝±bax＝±3x.答案：3x±y＝06.双曲线x216－y29＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．解析：由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝12(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义得：|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.答案：137.已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的____________条件．解析：当k＝0时，直线y＝1与抛物线C：y2＝x只有一个交点；所以直线l与抛物线C有两个不同交点必须k≠0；当k≠0时，由y2＝x，y＝kx＋1，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l与抛物线C，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”必要不充分条件．答案：必要不充分8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为|4m－3m2－8|5，故当m＝23时，取得最小值为43.答案：439.已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG→＝OA→＋OB→＋OC→，则λ＝________．解析：如图，正方体中，OA→＋OB→＋OC→＝3OG→，所以λ＝3.答案：310.若点P(2，0)到双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α⇒sinα＝22⇒α＝45°⇒k＝1；所以y＝±bax＝±x⇒a＝b，因此c＝2a，e＝ca＝2.答案：211.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(a4，0)，则直线l的方程为y＝2(x－a4)，它与y轴的交点为A(0，－a2)，所以△OAF的面积为12|a4|·|a2|＝4，解得a＝±8，所以抛物线方程为y2＝±8x.答案：y2＝±8x12.若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，解得y20＝3(1－x204)，因为FP→＝(x0＋1，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x0(x0＋1)＋3(1－x204)＝x204＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值224＋2＋3＝6.答案：613.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点，则二面角B－AM－C的大小为________．解析：以点C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A(0，3，0)，A1(0，3，6)，M(0，0，62)，所以A1B→＝(1，－3，－6)，AM→＝(0，－3，62)，因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1⊥面ABC，所以CC1⊥BC，因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥面AMC，所以CB→＝(1，0，0)是平面AMC的一个法向量，设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM→＝(－1，0，62)．由n·BA→＝0n·BM→＝0，得－x＋3y＝0－x＋62z＝0，取z＝2，得n＝(6，2，2)，因为|CB→|＝1，|n|＝23，所以cos〈CB→，n〉＝623＝22，又二面角B－AM－C的平面角是锐角，因此二面角B－AM－C的大小为45°.答案：45°14.设x1，x2∈R，常数a0，定义运算“*”，x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，x*a)的轨迹是________．解析：因为x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，所以x*a＝（x＋a）2－（x－a）2＝2ax，则P(x，2ax)，设P(x1，y1)，即x1＝xy1＝2ax，消去x得y21＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，故点P的轨迹为抛物线的一部分．答案：抛物线的一部分二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知p：(x＋2)(x－10)≤0，q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，由p：(x＋2)(x－10)≤0可得－2≤x≤10，由q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m0)，可得1－m≤x≤1＋m(m0)，因为p是q的充分不必要条件，所以1－m≤－21＋m≥10，得m≥9，即实数m的取值范围为m≥9.16.(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．解：如图所示，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A(22，0，0)，B(0，0，0)，C(2，－2，5)，A1(22，22，0)，B1(0，22，0)，C1(2，2，5)．(1)易得AC→＝(－2，－2，5)，A1B1→＝(－22，0，0)，因为cos〈AC→，A1B1→〉＝AC→·A1B1→|AC→||A1B1→|＝43×22＝23.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.(2)易知AA1→＝(0，22，0)，A1C1→＝(－2，－2，5)．设平面AA1C1的法向量m＝(x1，y1，z1)，则m·A1C1→＝0，m·AA1→＝0，即－2x1－2y1＋5z1＝0，22y1＝0.不妨令x1＝5，可得z1＝2，即m＝(5，0，2)．同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x2，y2，z2)，则n·A1C1→＝0，n·A1B1→＝0.即－2x2－2y2＋5z2＝0，－22x2＝0.不妨令y2＝5，可得z2＝2，即n＝(0，5，2)．于是cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝27×7＝27，从而sin〈m，n〉＝357.所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为357.(3)由N为棱B1C1的中点，得N(22，322，52)．设M(a，b，0)，则MN→＝(22－a，322－b，52)．由MN⊥平面A1B1C1，得MN→·A1B1→＝0，MN→·A1C1→＝0.即（22－a）·（－22）＝0，（22－a）·（－2）＋（322－b）·（－2）＋52×5＝0.解得a＝22，b＝24.故M(22，24，0)．因此BM→＝(22，24，0)，所以线段BM的长为|BM→|＝104.17.(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x2－2y2＝1共焦点，且过(2，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为x212－y212＝1，则c＝1.∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为x2a2＋y2a2－1＝1，∵椭圆过(2，0)，∴2a2＋0a2－1＝1，即a2＝2，∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y＝2x＋b，弦的中点坐标为(x，y)，则y＝2x＋bx22＋y2＝1得9x2＋8bx＋2b2－2＝0，∴x1＋x2＝－8b9，y1＋y2＝2b9.即x＝－4b9，y＝b9，∴y＝－14x.令Δ＝0，64b2－36(2b2－2)＝0，即b＝±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y＝2x±3，即当x＝±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为：y＝－14x(－43≤x≤43)．18.(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．解：(1)据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．设AC＝BC＝CC1＝a，则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，A(a，0，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，a)，A1(a，0，a)，M(a2，a2，a2)，N(0，a2，a)．所以BA1→＝(a，－a，a)，CA1→＝(a，0，a)，MN→＝(－a2，0，a2)．所以MN→·BA1→＝0，MN→·CA1→＝0，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.(2)因为MN⊥平面A1BC，则MN→为平面A1BC的法向量，又BC1→＝(0，－a，a)，则cos〈BC1→，MN→〉＝BC1→·MN→|BC1→||MN→|＝a222a×22a＝12，所以〈BC1，MN→〉＝60°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.19.(本小题满分16分)已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x＝22的距离之比为22.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM→·FN→＝0，求MN的最小值．解：(1)设点P(x，y)，依题意，有（x－2）2＋y2|x－22|＝22，整理，得x24＋y22＝1.所以动点P的轨迹C的方程为x24＋y22＝1.(2)∵点E与点F关于原点O对称，∴点E的坐标为(－2，0)．∵M、N是直线l上的两个点，∴可设M(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1y2)．∵EM→·FN→＝0，∴(32，y1)·(2，y2)＝0，则6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1.