第二章控制系统的数学模型gai

1第二章控制系统的数学模型主要内容2基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。36.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。4分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法5解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。6总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。7•数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式2.1控制系统微分方程的建立1、DifferentialEquation(微分方程）2、TransferFunction（传递函数）3、FrequencyResponse（频率响应）4、StateEquation（状态方程）5、DifferenceEquation（差分方程）8数学模型类型1、DifferentialEquation(微分方程）2、TransferFunction（传递函数）3、FrequencyResponse（频率响应）4、StateEquation（状态方程）5、DifferenceEquation（差分方程）9线性定常系统微分方程的一般形式2.1.1引言r(t)bdtdr(t)b...dtr(t)dbdtr(t)dbc(t)adtdc(t)a...dtc(t)dadtc(t)dammmmmmnnnnnn011110111110基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程(2)电容CUidtdUCi(3)电感LidtdiLUU(1)电阻UiRRUi2.1.2简单网络12)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrcccdttduCtic)()()()()()(tutRidttdiLtucr)()()(22tudttduRCdttudLCcccEx1:RLC电路(5)弹簧kx1x2F(6)阻尼器bv1v2F)(21vvbF)(21xxkF(4)质量FvMdtdvMF例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。MF(t)kfy(t)1522()()()()dytdytmfKytFtdtdt(24)式中：y——m的位移（m）；f——阻尼系数（N·s/m);K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化22()()1()()mdytfdytytFtKdtKdtK16222()()2()()dytdytTTytkFtdtdt(25)T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即/TmK2/TfK/2fmK，则式可写成(24)1/kK172.2拉普拉斯变换及反变换定义如果时间函数f(t)满足01)(dtetft则f(t)的拉氏变换为，)}({)()(0tfLdtetfsFst18拉氏变量可以看作微分算子，如下dtdstdts0119常用的拉氏变换1!][nnsntLaseLat1][22][sinstL22][cossstLstL1)](1[20拉氏反变换形式定义dsesFjtfstjcjc)(21)()()()(1sFLsFoftiontransformaLaplaceinversetfor21拉氏变换定理(1)linearity(线性性质）)()()()(22112211sFksFktfktfkL)0()0()(])([)1(1kkkkkffssFsdttfdL(2)differentiation（微分定理）(3)ShiftinTime（实域中的位移定理）)()(1)(sFeTtTtfLTs(4)ComplexShifting（复域中的位移定理）)()(asFtfeLat(5)Initial-ValueTheorem（初值定理）)(lim)(lim0ssFtfst(6)Final-ValueTheorem（终值定理）)(lim)(lim0ssFtfst如果sF(s)在平面的右半平面或虚轴上没有极点23)()()(22trtkydtdybdttydM利用拉氏变换求解微分方程Ex1拉氏变换为)()()]0()([)]0()0()([2sRskYyssYbysysYsM当0)(tr,0)0(yy,0)0(y得到)()()()(20sqspkbsMsybMssY当Y(s)为2112)2)(1(3)(ssssssY(1)Eq.(1)拉氏反变换为tteety22)(3/Mb10y,,2/MkEx2)(23422trydtdydtyd初始条件1)0(y0)0(y1)(tr,,and拉氏变换，得到)34(24)(22ssssssYsss3/236/112/1则326121)(3tteety263.非线性微分方程的线性化什么是线性系统?满足叠加原理的系统称为线性系统。叠加原理又可分为可加性和齐次性。例：设线性微分方程式为2()()()()dctdctctrtdtdt若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。1()()rtrt1()ct2()()rtrt2()ct1()()rtrt2()rt12()()()ctctct27上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。1()()rtart1()()ctacta例子kxy(1)(2)bkxy(3)2xy不满足齐次性不满足叠加性当xxx0andyyy0Eq(2)可写为bxkkxyy00则有xky或kxy分线性函数y=f(x)如图0xxx00yyy0xy)(xfxky0xdxdfA利用泰勒级数展开式进行线性化得到xdtdfxfxfyx00置Δy=f(x)-f(x0),则xdxdfyx0kdxdfx0记得到Δy=kΔx或y=kx0xxx00yyy0xy)(xfxky0xdxdfA)](cos[)(0txExy)()()(0xyxyxyxxEy00sin取一次近似，且令即有例2.6已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。200000))((!21))(()()(xxxyxxxyxyxy解.在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数)(sin000xxxE322.3传递函数（Thetransferfunction）一、传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。33这里，“初始条件为零”有两方面含义：0一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。0二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。34传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。nm二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）35传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为()()()GsCsRs／当时，，所以，()()rtt()1Rs111()()()()()ctLCsLGsRsLGs一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。tcadttdcadttcdadttcdnnnnn01111trbdttrdbdttrdmmmmm0111)(动态系统用微分方程表示如果初始条件均为0，拉氏变换为)()(0111sCasasasnnn)()(0111sRbsbsbsmmm传递函数为01110111)()()(asasasbsbsbssGsRsCnnnmmm37三、传递函数举例说明例1.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。uiRCucLi38解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为2()1/1()1/1oiUssCUsLsRsCLCsRCs()1/()iUsLsRsCIs()1/()oUssCIs39nnnnmmmmasasasabsbsbsbsT11101110)(nnnnasasass111称为系统的特征多项式形式，0)(s称为系统的特征方程，特征方程的根称为系统的特征根。(1)多项式形式2.传递函数的三种常用形式njjmiinmpszskpspspszszszsksT112121)()()())(()())(()(),,2,1(mizi是传递函数的零点；),,2,1(njpj是传递函数的极点（即系统的特征根）。k称为零极点增益（根轨迹增益、Evans增益）。(2)零极点形式（Evans形式）)12()1()1()(22sTsTsTssKsTkkkji(3)典型环节（因式）形式（Bode形式）K称为Bode增益。常见的典型环节：放大环节（增益环节）K、积分环节s1、惯性环节（一阶环节）11Ts、振荡环节（二阶环节）12122TsTs、一阶微分环节1s。其它典型环节：一阶不稳定环节11Ts、迟后环节se、二阶微分环节1222ss423.六个典型环节及其传递函数1）比例环节（又叫放大环节）特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。运动方程:c(t)=Kr(t)K——放大系数，通常都是无量纲的。传递函数