第二章数字逻辑基础

第二章数字逻辑基础§2-1逻辑代数基础§2-2逻辑函数的标准形式§2-3逻辑函数的化简小结第二章数字逻辑基础本章将依次讨论逻辑代数的基本概念和基本理论，然后说明逻辑函数的基本表示形式及其化简。逻辑函数及其化简。重点:逻辑代数基础、§2-1逻辑代数基础数字信号基础逻辑代数的运算公式和规则逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法§2-1逻辑代数基础一、数字信号基础t锯齿波信号uu正弦波信号tut方波信号电子电路中的信号模拟信号数字信号随时间连续变化不连续变化模拟电路数字电路1.工作信号是离散的：电路中的半导体管多数工作在开关状态。如二极管工作在导通和截止态；三极管工作在饱和态和截止态。2.研究对象是输入和输出的逻辑关系，因此主要的分析工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图及波形图等。（一）数字电路的特点一、数字信号基础（二）脉冲数字信号正脉冲负脉冲脉冲幅度A脉冲宽度tp上升时间tr下降时间tf脉冲周期T脉冲频率f脉冲前沿脉冲后沿后沿后沿前沿前沿一、数字信号基础（一）逻辑变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态:是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。（二）基本逻辑运算逻辑与逻辑或逻辑非§2-1逻辑代数基础二、逻辑变量及基本逻辑运算逻辑符号逻辑表达式F=AB=AB与逻辑真值表与逻辑关系表逻辑与开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010ABF与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示。§2-1逻辑代数基础只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。UABF逻辑符号或逻辑真值表或逻辑关系表逻辑或开关A开关B灯F断断断合合断合合亮亮亮灭ABF101101001110§2-1逻辑代数基础决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。逻辑表达式F=A+BABFUFAB≥1或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示。非逻辑真值表非逻辑关系表逻辑非开关A灯FAF§2-1逻辑代数基础当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。逻辑表达式F=A“-”非逻辑运算符UFAR断合亮灭1001逻辑符号ABF1与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD（三）复合逻辑运算§2-1逻辑代数基础ABF1ABF2≥1ABF3CD≥1ABF101101001100逻辑表达式F=AB=AB+ABABF=1逻辑符号逻辑表达式F=ABABF101101000011§2-1逻辑代数基础异或运算同或运算“”异或逻辑运算符=AB“⊙”同或逻辑运算符ABF=1逻辑符号ABF=（四）正逻辑与负逻辑（与门）（或门）ABFVLVLVL电平关系VLVHVLVHVLVLVHVHVH正逻辑ABF负逻辑ABF000010100111111101011000VH：高电平VL：低电平逻辑0：VH逻辑1：VL逻辑1：VH逻辑0：VL高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示。正、负逻辑间关系正或=负与正与=负或正与非=负或非正或非=负与非≥1逻辑符号等效在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。原来的符号互换（与←→或、同或←→异或）高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示。§2-1逻辑代数基础≥1≥1正逻辑正与正与非正或正或非≥1≥1负逻辑负与负与非负或负或非§2-1逻辑代数基础三、逻辑代数的运算公式和规则公理、定律与常用公式公理交换律结合律分配律0-1律重叠律互补律还原律反演律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)自等律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=ABAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)例：证明吸收律BABAA成立BAA)()(AABBBABABABBA)(互补律重叠律§2-1逻辑代数基础ABABABABABABAB例：证明包含律CAABBCCAAB成立§2-1逻辑代数基础BCAABCCAABBCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：BC)AA(CAAB例：证明反演律AB=A+B和A+B=ABABABA+BABA+B000110111110111010001000由真值表得§2-1逻辑代数基础证：利用真值表AB=A+B，A+B=AB1110111010001000反演律又称摩根定律，常变形为AB=A+B和A+B=AB逻辑代数的运算公式和规则三个基本运算规则代入规则：任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：nnAAAAAA2121利用反演律nnAAAAAA2121ABC=A+BC=A+B+C基本运算规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：若把式中的运算符“•”换成“+”,“+”换成“•”；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。例：F(A，B，C)CBAB)CA(BA其反函数为)CBA(BCA)BA(F注：①保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号②不属于单个变量上的非号有两种处理方法非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换将非号去掉，而非号下的函数式保留不变基本运算规则对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”。得到的新函数为原函数F的对偶式F′，也称对偶函数。对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2则F1′=F2′。使公式的数目增加一倍。求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。注：函数式中有“”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“⊙”，“⊙”换成“”。其对偶式例：FB1CABA)(F′B0CABA)()(§2-1逻辑代数基础四、逻辑函数及其表示方法用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A、B、C等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。F(A，B)=A+BF(A，B，C)=A+BC输出变量逻辑函数的表示方法：逻辑图逻辑表达式波形图真值表输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。ABCF00000100110111100101011111011000三个人意见分别用逻辑变量A、B、C表示表决结果用逻辑变量F表示同意为逻辑1，不同意为逻辑0。表决通过为逻辑1，不通过为逻辑0。1.真值表2.逻辑函数表达式找出函数值为1的项。每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。这些乘积项作逻辑加。F=ABC+ABC+ABC+ABC输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABC、ABC。1011111010111111§2-1逻辑代数基础3.逻辑图F=ABC+ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABFCABCABCABC≥1ABCF注意！！作图时要用尺画并对齐。§2-2逻辑函数的标准形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式五种常用表达式F(A，B，C)“与―或”式))((BACA“或―与”式CAAB“与非―与非”式BACA“或非―或非”式BACA“与―或―非”式表达式形式转换函数表达式的常用形式=AB+AC基本形式例如函数F=AB+AC1.与-或表达式转换为或-与表达式F=AB+AC=AA+AB+AC+BC=A(A+B)+C(A+B)=(A+C)(A+B)吸收率互补率2.与-或表达式转换为与非—与非表达式F=AB+AC=AB+AC=AB•AC还原率反演率3.或-与表达式转换为或非—或非表达式F=(A+C)(A+B)=(A+C)(A+B)=A+C+A+B4.或-与表达式转换为与-或-非表达式=AC+AB一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。一个逻辑函数表达式的各种表示形式可以不同，但逻辑功能是相同的。逻辑函数的标准形式最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi。3个变量有23（8）个最小项。CBACBAm0m100000101CBABCACBACBACABABCm2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。一、最小项和最大项乘积项和项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i：各输入变量取值看成二进制数，对应十进制数。001ABC000m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABABC1-20niimF100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项最小项的性质：同一组变量取值：任意两个不同最小项的乘积为0，即mimj=0(i≠j)。全部最小项之和为1，即1201niim任意一组变量取值：只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。n个变量有2n个最大项，记作i。n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最大项：逻辑函数的标准形式001ABC000三变量的最大项最大项的性质：同一组变量,取值任意的两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1(i≠j)。任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。全部最大项之积为0，即1200niiMiiMn120F011111111011111100010011100101110111111111111111011111101111110111111011111101111110000000CBACBACBACBACBACBACBACBAM0M1M2M3M4M5M6M7最小项与最大项的关系相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，即：于是有：mi+Mi=1mi·Mi=07531mmmmF例：7531mmmmFm1m3m5m7=7531MMMM=由若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。mi=MiMi=mi逻辑函数的标准形式标准积之和(最小项）表达式DCBADCBADCBADCBADCBAF),,,(8510mmmm)8,5,1,0(m式中的每一个乘积项均为最小项CBBACDBBADCBAF)()(CDBABCDADCBAABCDCDBABCDADCBA15141110973mmmmmmm)0,11,14,151