搜索
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1.椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k的值为________．解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.答案：11或292.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.解析：由题意知，m0，双曲线mx2＋y2＝1化为标准形式y2－x2－1m＝1，故a2＝1，b2＝－1m，所以a＝1，b＝－1m，则由2－1m＝2×2，解得m＝－14.答案：－143.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则有2b2a＝2a2c－c＝1，即2b2a＝2，①b2c＝1，②①÷②得e＝22.答案：224.与x2－4y2＝1有相同的渐近线，且过M(4，3)的双曲线方程为________．解析：设方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将M(4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝15.已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x23－y29＝1，可知a＝3，c＝a2＋b2＝3＋9＝23，e＝ca＝233＝2.答案：26.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析：椭圆x26＋y22＝1的右焦点为(2，0)，而抛物线y2＝2px的焦点为(p2，0)，则p2＝2，故p＝4.答案：47.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标是________．解析：由题意得F(1，0)，设A(y204，y0)，则OA→＝(y204，y0)，AF→＝(1－y204，－y0)，由OA→·AF→＝－4，解得y0＝±2，此时点A的横坐标为y204＝1，故点A的坐标为(1，±2)．答案：(1，±2)8.设P是椭圆x225＋y216＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________．解析：设P的坐标(x，y)，则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－y216)＋(y＋4)2＝－916(y－649)2＋6259(－4≤y≤4)，当y＝4时，PQ2最大，此时PQ最大，且PQ的最大值为25×（1－4216）＋（4＋4）2＝8.答案：89.以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：由题意知圆心坐标应为(5，0)．又因为点(5，0)到渐近线y＝±43x的距离为4，所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.答案：x2＋y2－10x＋9＝010.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知a－c＝3ca＝12，解得a＝23c＝3，椭圆方程为x212＋y29＝1或y212＋x29＝1.答案：x212＋y29＝1或y212＋x29＝111.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，则MN→＝(4，0)，|MN→|＝4，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)；由|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，得4（x＋2）2＋y2＋4(x－2)＝0，化简整理得y2＝－8x.答案：y2＝－8x12.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→且OQ→·AB→＝1，则点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a0，b0.于是BP→＝(x，y－b)，PA→＝(a－x，－y)，由BP→＝2PA→可得a＝32x，b＝3y，所以x0，y0.又AB→＝(－a，b)＝(－32x，3y)，由OQ→·AB→＝1可得32x2＋3y2＝1(x0，y0)．答案：32x2＋3y2＝1(x0，y0)13.椭圆x24＋y29＝1与曲线x29－k＋y24－k＝1(0k4)的关系是________．(填正确的序号)①有相等的焦距，相同的焦点；②有相等的焦距，不同的焦点；③有不等的焦距，相同的焦点；④有不等的焦距，不同的焦点．解析：椭圆x24＋y29＝1的焦点在y轴上，曲线x29－k＋y24－k＝1(0k4)是椭圆，焦点在x轴上，排除①，③；又c2＝9－4＝(9－k)－(4－k)＝5，所以有相同的焦距．答案：②14.已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；④△PF1F2的内切圆必通过点(a，0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为(x，0)，则由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．答案：①④二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4m时，水面宽8m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；(2)若水面上升1m，求水面宽度．解：(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p0)．由已知条件可知，点B的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2.所以，所求抛物线标准方程是x2＝－4y.(2)若水面上升1m，则y＝－3，代入x2＝－4y，得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±23，所以这时水面宽为43m.16.(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x29＋y24＝1，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝59a2－4b2＝1，解得a2＝3b2＝2，故所求双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)，则有p2＝355，故p＝655.所以抛物线的标准方程为y2＝－1255x.17.(本小题满分14分)已知双曲线x29－y227＝1与点M(5，3)，F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使PM＋12PF最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F(6，0)，离心率e＝2，右准线为l：x＝32.作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则PF＝ePN＝2PN⇒PN＝12PF.此时PM＋12PF＝PM＋PN＝MN＝5－32＝72为最小值．在x29－y227＝1中，令y＝3，x2＝12⇒x＝±23；又∵x0，∴取x＝23.即当所求P点的坐标为(23，3)时，PM＋12PF取最小值72.18.(本小题满分16分)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点N(－2，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足NM→＋F2M→＝0；(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积．解：(1)由已知，点N(－2，1)在椭圆上，∴有2a2＋1b2＝1，①又∵NM→＋F2M→＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，∴－2＋c＝0，c＝2.∴有a2－b2＝2，②由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)设PF1＝m，PF2＝P，则S△F1PF2＝12mnsinπ3＝34mn.由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.①又由余弦定理得PF21＋PF22－2PF1·PF2cosπ3＝F1F22，即m2＋n2－mn＝(22)2.②由①2－②，得mn＝83，∴S△F1PF2＝233.19.(本小题满分16分)已知点A(0，－2)，B(0，4)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝y2－8.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若(1)中所求轨迹方程与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证OC⊥OD(其中O为原点)．解：(1)由题意得PA→·PB→＝(－x，－2－y)·(－x，4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y.故动点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)证明：设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝x＋2代入x2＝2y得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，则Δ＝4＋16＝200，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.所以kOC·kOD＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝－1.所以OC⊥OD.20.(本小题满分16分)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)，又∵F(1，0)，∴kFA＝43；MN⊥FA，∴kMN＝－34，则FA的方程为y＝43(x－1)，MN的方程为y－2＝－34x.解方程组y＝43（x－1）y－2＝－34x，得x＝85y＝45，∴点N的坐标为(85，45)．(3)由题意得，圆M的圆心是点(0，2)，半径为2.当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即为4x－(4－m)y－4m＝0，圆心M(0，2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋（m－4）2，令d2，解得m1.∴当m1时，直线AK与圆M相离；当m＝1时，直线AK与圆M相切；当m1时，直线AK与圆M相交．