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-1-第26课时两个平面垂直的判定和性质习题课（二）教学目标：通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。教学重点：两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。教学难点：找求问题解决的突破口，转化思想渗透。教学过程：1．复习回顾：1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2．讲授新课：［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类，例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，两线相交于E，连BE∵BC∥AD则BC∥面PAD∴面PBC∩面PAD＝PE∴BC∥PE因PD⊥面ABCD，BC⊥CD那么BC⊥PC，BC⊥面PDC即有PE⊥面PDCPE⊥PD，PE⊥PC∠CPD就是所求二面角的平面角因PD＝AD，而AD＝DC-2-∴∠CPD=45°即面PAD与面PBC成角为45°.［师］从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.请同学归纳小结例1的解法，并完成例2.例2：如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.［师］首先解释一下斜三棱柱，面ABC及面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1∥＝AA1∥＝BB1.［生］A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行于B1C1，此题难点就是如何找平面角.［师］考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，请同学思考.师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：因面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC＝BC面BB1C1C∩面A1B1C1＝B1C1∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC设所求两面交线为AE，即二面角的棱则B1C1∥AE，即BC∥AE经C1作C1D⊥BC于D，因面BB1C1C⊥面ABC∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC又∠C1CD＝60°,CC1＝a故CD＝a2即D为BC中点又△ABC是等边三角形∴BC⊥AD那么有BC⊥面DAC1即AE⊥面DAC1故AE⊥AD，AE⊥AC1∠C1AD就是所求二面角的平面角.因C1D＝32a，AD＝32a，C1D⊥AD故∠C1AD＝45°.［师］请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.［生］同例1，关键是找棱、找角、而找角较难.［师］继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？例3：如图，几何体中AA1∥＝BB1∥＝CC1，AA1⊥面ABC，△ABC为正三角形，面A1EC-3-⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，∴只需找到另一个公共点，即可.因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O取BB1的中点E，连EO因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有BG⊥面AC1，OE∥BG∴OE⊥面AC1因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点那么EB1∥＝12CC1∴CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120°∴∠FA1B1＝30°那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F那么CA1⊥A1F（三垂线定理）∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.∠CA1C1＝45°，因AA1∥＝BB1∥＝CC1而面ABC∥面A1B1C1∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3．课时小结：依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。4．课后作业：