苏教版高二数学双曲线

1苏教版高二数学双曲线一、知识点回顾：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0，0(1-2222babyax)0,(1-2222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(aece渐近线byxaayxb二、巩固练习1．(2013·南京高二检测)双曲线x25－y24＝1的焦点坐标是________．2．椭圆x24＋y2a＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是________．3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．4．(2013·福州高二检测)双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k的值为________．5．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．6．(2013·潍坊高二检测)已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c0)，它们所表示的曲线可能是________．7．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．8．(2013·江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．9．(2013·扬州高二检测)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为2，则m的值为________．10．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．11．(2013·常州高二检测)双曲线tx2－y2－1＝0的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．12．(2013·哈师大附中高二检测)y＝kx＋2与双曲线x29－4y29＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．13．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．14．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点P1(3，－42)，P2(94，5)；xOF1PB2B1F2xOF1F2PyA2A12(2)与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4.16．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝12，tan∠MNP＝2，建立适当的平面直角坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．17．(1)求焦点在x轴上，过点(3，－2)，离心率为e＝52的双曲线的标准方程；(2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x－2y＝0的双曲线方程及离心率．18．已知斜率为1的直线l与双曲线x2－y22＝1交于A，B两点，且|AB|＝42，求直线l的方程．19．如图，已知双曲线C的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，离心率e＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C的方程；(2)P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若AP→＝λPB→，λ∈[13，2]，求△AOB面积的取值范围．3答案卷1．(2013·南京高二检测)双曲线x25－y24＝1的焦点坐标是________．【解析】∵c2＝5＋4＝9，∴c＝3，∴F(±3,0)．【答案】(±3,0)2．椭圆x24＋y2a＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是________．【解析】∵a0，∴焦点在x轴上，∴4－a＝a＋2，∴a＝1.【答案】13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．【解析】∵xM＝3，∴324－y2M12＝1，∴yM＝±15.又∵右焦点为F2(4,0)，∴MF2＝3－42＋±15－02＝4.【答案】44．(2013·福州高二检测)双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k的值为________．【解析】双曲线方程化为标准形式为x2－y2－5k＝1，由焦点是(6，0)，可得k0，且1－5k＝(6)2，解得k＝－1.【答案】－15．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【解析】设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝3－1，x＋2＝3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝23.【答案】236．(2013·潍坊高二检测)已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c0)，它们所表示的曲线可能是________．【解析】方程ax2＋by2＝ab可化为x2b＋y2a＝1，若a0，b0，则直线ax＋by＋c＝0在两轴上截距均为负值，无此图形；若a0，b0，则②符合；若a0，b0，无此图形．【答案】②7．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．【解析】如图，F(－4,0)，设F′为双曲线右焦点，则F′(4，0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，PF－PF′＝2a＝4，而PF＋PA＝4＋PF′＋PA≥4＋AF′＝4＋5＝9.当且仅当A、P、F′三点共线时取等号．【答案】98．(2013·江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±34x.【答案】y＝±34x9．(2013·扬州高二检测)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为2，则m的值为________．4【解析】显然m0，∴e＝1＋m＝2，∴m＝3.【答案】310．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．【解析】双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为x2a2－y29＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2.【答案】211．(2013·常州高二检测)双曲线tx2－y2－1＝0的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】渐近线方程为y＝±tx，∵2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2，∴t＝12，∴t＝14，∴双曲线方程为x24－y2＝1，∴e＝1＋14＝52.【答案】5212．(2013·哈师大附中高二检测)y＝kx＋2与双曲线x29－4y29＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．【解析】y＝kx＋2x29－49y2＝1消去y得：(1－4k2)x2－16kx－25＝0，∴1－4k2≠0Δ＝25－36k2016k1－4k20－251－4k20，∴－56k－12.【答案】(－56，－12)13．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．图2－3－1【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，∴只需∠AEB为锐角，∴∠AEF45°，∴b2a＝AFFE＝a＋c，∴e2－e－20，∴－1e2.又∵e1，∴1e2，∴e∈(1,2)．【答案】(1,2)14．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．图2－3－2【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a′，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a＝2×2a′，即a＝2a′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e′＝ca′，椭圆离心率e＝ca，故e′e＝aa′＝2.【答案】215．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点P1(3，－42)，P2(94，5)；5(2)与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4.【解】(1)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)，分别将点P1(3，－42)，P2(94，5)代入，得9A＋32B＝18116A＋25B＝1，解得A＝－19B＝116，故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)由椭圆的方程为标准方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．由题意点A在椭圆x227＋y236＝1上，因为yA＝4，则x2A27＋1636＝1，解得xA＝15(xA＝－15舍去)，故点A的坐标为(15，4)．由题意知，双曲线的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，点A(15，4)在双曲线上，则由双曲线定义可得2a＝|AF1－AF2|＝|15－02＋4＋32－15－02＋4－32|＝4，所以a＝2，b2＝c2－a2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.16．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝12，tan∠MNP＝2，建立适当的平面直角坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．【解】以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x0，y0)、M(－c,0)、N(c,0)(y00，c0)如图所示．则y0x0＋c＝12，y0c－x0＝2，12·2c·y0＝1，解得x0＝3510，y0＝255，c＝52.设双曲线方程为x2a2－y254－a2＝1，将点P(3510，255)代入，可得a2＝14(a2＝94舍去)．∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.17．(1)求焦点在x轴上，过点(3，－2)，离心率为e＝52的双曲线的标准方程；(2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x－2y＝0的双曲线方程及离心率．【解】(1)焦点在x轴上，设方程为x2a2－y2b2＝1，则9a2－2b2＝1，①又e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝52，得a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝14，得双曲线标准方程为x2－y214＝1.(2)∵双曲线的一条渐近线是3x－2y＝0，∴可设双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)．∵其中一个焦点是(－4,0)，∴4λ＋9λ＝16.6∴λ＝1613.∴双曲线方程为13x264－13y2144＝1，离心率e＝ca＝132.18．已知斜率为1的直线l与双曲线x2－y22＝1交于A，B两点，且|AB|＝42，求直线l的方程．【解】设直线l的方程为y＝x＋b，由2x2－y2＝2y＝x＋b得x2－2bx－b2－2＝0，∴x1＋x2＝2b，x1x2＝－b2－2，∴由AB＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝28b2＋8＝42，解得b＝±1，∴直线l的方程为x－y±1＝0.图2－3－319．如图2－3－3，已知双曲线C的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，离心率e＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C的方程；(2)P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．