第二章离散时间信号与系统

★数字信号处理实验指导书★9第二章离散时间信号与系统2.1离散信号表示与运算在数字信号处理中,所有信号都是离散时间信号——序列,表示为x(n)={...,x(-1),x(0),x(1),…}－∞n∞MATLAB一般把普通的一维抽样数据信号即抽样序列表示成向量形式。向量可以表示为1×n的或n×1的矩阵，其中n为序列中抽样点的个数。最简单的把序列引入MATLAB的方法是在命令行输入一个元素表。例如：x=[3-571-2]这样就构造了一个表示成行向量的五元素简单实数序列，它是一个n×1的矩阵。当然，也可以用矩阵的转置将其变换为列向量，即1×n的矩阵：x=x’结果为：x=3-571-21．典型信号表示(1)单位抽样序列在MATLAB中可用函数zeros(1,N)产生一个由N个零组成的行向量,实现有限区间的δ(n)x＝zeros(1,N)x(1)＝1；(2)单位阶跃序列在MATLAB中可用函数ones(1,N)产生一个由N个1组成的行向量,实现有限区间的u(n)x=ones(1,N);(3)实指数序列0001)(nnn0001)(nnnuRaanxn)(★数字信号处理实验指导书★10MATLAB实现n=0:N-1;x=a.^n;(3)正(余)弦序列MATLAB实现：n=n1:n2;x=A*sin(2*pi*f*n*Ts+φ);(5)复指数序列MATLAB实现n=0:N-1;x=exp((r+j*w)*n);(6)随机序列MATLAB提供了两种随机信号：Rand(1,N)产生[0,1]上均匀分布的随机矢量。Randn(1,N)产生均值为0，方差为1的高斯随机序列，即白噪声序列。2．常用信号表示常用信号的MATLAB表示见表2-1表2-1信号名称MATLAB函数说明信号名称MATLAB函数三角波或锯齿波方波sawtooth(t,width)square(t)width=0.5产生三角波width=1产生锯齿波sinc函数Sinc(t)用MATLAB实现常用函数的程序举例如下:t=0:0.0001:0.2;x=sawtooth(2*pi*50*t,1);%锯齿波subplot(2,2,1);plot(t,x);x=sawtooth(2*pi*50*t,0.5);%三角波subplot(2,2,2);plot(t,x);x=square(2*pi*50*t);%方波subplot(2,2,3);nenxnj)()(21)2sin()(nnnfnTAnxs★数字信号处理实验指导书★11plot(t,x);axis([0,0.2,-1.5,1.5]);t=-5:0.1:5;x=sinc(t);subplot(2,2,4);plot(t,x);axis([-5,5,-0.4,1.1]);结果如图2.1所示图2.1常用信号的表示3.信号的运算(1)信号加x(n)=x1(n)+x2(n)MATLAB实现：x=x1+x2;说明：①此时序列x1和x2应该具有相同的长度，而且位置对应，才能相加，否则会出错。②若序列x1和x2的长度或位置不同时，应先统一两序列的长度和位置，然后再进行序列加的操作。例如：n1=[0:6];x1=[n1=2]%x1序列的值为：0011111★数字信号处理实验指导书★12n2=[-2:2];x2=[n2=0]%x2序列的值为：11100n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2))%n的值为：-2–10123456y1=zeros(1,length(n));y2=y1;y1(find((n=min(n1)&n=max(n1))==1))=x1%序列y1的值为：000011111y2(find((n=min(n2)&n=max(n2))==1))=x2%序列y2的值为：111000000y=y1+y2;%序列y的值为：111011111注：find(x)返回x矢量的所有非零索引号。(2)信号乘x(n)=x1(n)·x2(n)MATLAB实现：x=x1.*x2;注意：由于序列x1和x2均为行向量，所以序列的相乘采用矩阵相乘的运算符“.*”，而不是“*”。当序列x1和x2的长度和位置不同时，应先统一两序列的长度和位置，然后再进行序列乘的操作。(3)改变比例y(n)=k·x(n)MATLAB实现：y=k*x;(4)信号折叠y(n)=x(-n)MATLAB实现：y=fliplr(x);(5)抽样和MATLAB实现：y=sum(x(n1:n2));(6)抽样积21)(nnnnxy21)(nnnnxy★数字信号处理实验指导书★13MATLAB实现：y=prod(x(n1:n2));(7)信号能量MATLAB实现：E=sum(abs(x).^2);(8)信号功率MATLAB实现：P=sum(abs(x).^2)/N;2.2离散系统表示与运算一个离散时间系统,输入信号为x(n),输出信号为y(n),运算关系为T[]表示,则输出与输入的关系可以表示为y(n)=T[x(n)].1、线性时不变系统(LTI)的表示线性时不变系统的输入输出关系可通过单位脉冲响应h(n)表示为:式中*表示卷积运算.2、线性时不变系统(LTI)的实现可物理实现的线性时不变系统是稳定的、因果的。这种系统的单位脉冲响应是因果的且绝对可和的。即h(n)=0n0在MATLAB中可采用函数conv实现卷积运算，即：y=conv(x,h);它默认序列从n=0开始。但如果序列是从一负值开始，即如：其中nxb0或nhb0，或两者同时为负，这样就不能直接采用conv函数。通过分析，nnxE2|)(|nnxNP2|)(|1Nkknhkxnhnxny0)()()()()(}:)({xexbnnnnx}:)({hehbnnnnh}:)({yeybnnnny|)(|nh★数字信号处理实验指导书★14其卷积结果序列为：且：nyb=nxb+nhbnye=nxe+nhe这样，我们就可构成一新的卷积函数conv_m，它可求出带下标的序列卷积。conv_m函数内容：function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x))+nh(length(h));ny=[nyb:nye];y=conv(x,h);说明：n(a)返回序列n的第a个值；例：n=[-2:5]，n(1)返回-2，n(5)返回2。2.3序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换是一种复指数序列表示离散信号的方法，对LTI系统可以方便的进行频域分析。设序列x(n)绝对可和，即，则序列x(n)的傅立叶变换为的两个重要特性为（1）周期性；（2）对称性。[例1]研究序列x(n)=0.8nu(n)的傅立叶变换。解：x(n)是绝对可和的，因此它的傅立叶变换存在MATLAB程序实现如下：%[0,2pi]区间分为501点n=0:50;x=(0.8).^n%输入序列subplot(2,2,1);stem(n,x);title('输入序列');w=[0:1:500]*2*pi/500;X=exp(j*w)./(exp(j*w)-0.8*ones(1,501));%序列的傅立叶变换magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,2,3);plot(w/pi,magX);eejwnjwnxX)()(|)(|nxjweX8.0)()(jwjwjwnjweenxXee★数字信号处理实验指导书★15xlabel('以pi为单位的频率');title('序列的傅立叶变换幅度');subplot(2,2,4);plot(w/pi,angX);xlabel('以pi为单位的频率');title('序列的傅立叶变换相位');结果如图2.2所示：图2.2序列x(n)的傅立叶变换2.4序列的Z变换z变换是对离散时间信号和系统的复频域分析，在数字信号处理中占非常重要的地位。(1)序列的z变换表示为收敛域表示：RZ-|z|RZ+(2)z域的系统描述系统函数利用z变换的卷积性质，可得LTI在z域中的表示Y(z)=X(z)H(z)以差分方程表示的系统znnxzX)()(znnhzH)()(NkMmmkmnxbknyany10)()()(★数字信号处理实验指导书★16可直接写出NkkMmmMNNkkkMmmmdzczzbzazbzH11)(010)()(1)(式中z=cm是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，它们完全由差分方程的系数决定。MATLAB中用filter求解差分方程的完全解；freqz绘出幅频和相频曲线。如：y=filter(b，a，x)；其中向量a、b表示系统函数的分子和分母系数。x表示输入信号。filter函数的输出抽样点数与输入的抽样点数相同，即y的长度与x的长度相同。函数freqz基于FFT算法计算数字滤波器的Z变换频率响应。形式如下：[h，w]=freqz(b，a，n)其中向量a、b表示系统函数的分子和分母系数，返回数字滤波器的n点频率响应ｈ。通过mag=abs(h);ang=angle(h);可分别得到幅频和相频响应，参照例1程序绘出幅频和相频曲线。2.5信号的采样与恢复因为数字信号技术比模拟信号处理技术有许多优点，所以在工业实际应用中往往把模拟信号变为数字信号，在数字域处理完毕后，若需要再转换为模拟信号。（1）采样定理令为一绝对可积的模拟信号。它的连续时间傅立叶变换为式中Ω—模拟角频率，rad/s现以间隔sT对进行采样，得到离散时间信号x(n)x(n)＝令为x(n)的傅立叶变换，可以证明式中w—数字角频率，rad。模拟和数字角频率的关系为w=ΩT,采样频率ssTf1上式的图示见图2.3，由此得出采样定理。)(txadtetxjXtjaa)()()(txa)(sanTxjweX)]2([1)(ssmasjwTmTwjXTeX★数字信号处理实验指导书★17图2.3采样后频率周期延拓采样定理：设为带限信号，最高截止频率为fc。如果采样频率fs2fc,则可以唯一地由它的采样值不失真地恢复出原模拟信号；否则会在x(n)产生混叠。2fc称为奈奎斯特频率，fs/2称为折叠频率。（2）采样恢复从采样信号重构原信号采用内插公式)(txamssssamTtTmTtTmxtx)()](sin[)()(