第二章线性映射与线性变换.

教学目的掌握线性映射、线性变换的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质；掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念；熟悉酉空间与实内积空间的异同。第二章线性映射与线性变换(LinearmappingandLinearTransformation)线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。2维空间的线性变换3维空间的线性变换§2.1线性映射及其矩阵表示定义1设V1，V2是数域P的两个线性空间，A是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP，都有A(+)=A()+A()A(k)=kA()则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。线性映射与变换的举例由数k决定的数乘变换：事实上，,,,VmP(),KkkkKK.KmkmmkmK单位变换(恒等变换)：零变换：I:VV:I()=,VO:VV:O()=0,VK:VV:K()=k,V线性映射与变换的举例线性空间P[x]n的微分运算是线性变换.I(f(x))=f’(x)，f(x)P[x]n线性空间C[a，b]的积分运算是线性变换.作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I(A)=detA，APnn不是线性映射。定理1设A是线性空间V1到V2的线性映射，则(1)A(0)=0,(2)A(-)=-A()(3)若1,2…m是V1的一组向量，k1,k2,…kmP,有A(k11+k22…+kmm)=k1A(1)+k2A(2)+…+kmA(m)(4)若1,2…m是V1的一组线性相关向量，则A(1),A(2),…,A(m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时，V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质定理2设A,B是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1，2，…n是V1的一组基，并且A(i)=B(i)(i=1,2…n),则A=B.注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定2.线性映射的运算(1)设A,B都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:(A+B)()=A()+B()，任意的V1。(2)设A是V1到V2的线性映射,B是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)()=B(A())，任意的V1.(3)设A是V1到V2的线性映射,kP，定义k与A的数量乘积kA为:(kA)()=kA()，任意的V1线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。3.线性映射的矩阵表示是的基,是的基.设是线性映射，12,,,n21:VVT1Vm,,212V记:则存在唯一的使得:))(,),(),((,,,(2121nnTTTT,nmPA称矩阵A为线性映射T在基与基下的矩阵m,,21n,,,21ATmn),,(),,,(2121矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L(V1,V2)与Pmn同构。注：11221212[,,,]()[,,,]nmnmaaaaxTxaa定理7设T为V1到V2的线性映射，,1Vx则:1122mnaaaaAaa,,,21n称为线性映射在基与基下的坐标变换公式12,,,m例1设V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取线性映射T：V1→V2T(f(x))=f’(x),f(x)R[x]n，求T在R[x]n的一组基1,x,…xn-1与R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的矩阵DD(1)=0=01+02+…+0n-1D(2)=1=1+02+…+0n-1D(3)=2x=01+22+…+0n-1……D(n)=(n-1)xn-2=01+22+…+(n-1)n-1解在R[x]n中取基1=1，2=x,…n=xn-1,在R[x]n-1中取基1=1，2=x,…n-1=xn-2，则D(1,2,…n)=(1,2…n-1)nnnn)1(10000020000020000010即于是D在基1，x,…xn-1与1，x,…xn-2下的矩阵为D=nnnn)1(10000020000020000010nn)1(010000010000010另：若在R[x]n-1中取基1=1，2=2x,…n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,…xn-1与1，2x,…(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同定理8设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，1,2,…n和是V1的两组基,由1,2,…n到的过渡矩阵是Q，和是V2的两组基。由到的过渡矩阵是P，A在基与基下的矩阵为A，而在基与基下的矩阵为B，则n,,,21n,,,21m,,,21m,,,21m,,,21m,,,2112,,,nm,,,21n,,,21m,,,21B=P-1AQ，（称A与B相抵）定义1V是数域P上的线性空间，对V中的任意两个向量，和任意kP，映射T：VV满足(i)(可加性):T(+)=T()+T()(ii)(齐次性):kT()=T(k)称T为V上的线性变换，T()为在变换T下的像，称为原像。§2.3线性变换例1对每个x=(1,2,3)R3,定义变换T(x)=(1,2,0)则变换T是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）定理1设T是线性空间V上的线性变换，则(1)T(0)=0,(2)T(-)=-T()(3)若1,2…m是V的一组向量，k1,k2,…kmP,有T(k11+k22…+kmm)=k1T(1)+k2T(2)+…+kmT(m)(4)若1,2…m是V的一组线性相关向量，则T(1),T(2),…,T(m)也线性相关，当且仅当T是一一映射时，V中线性无关向量组的像也线性无关。线性变换的基本性质L(V,V)表示线性空间V上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2∈L(V,V),∈V,定义则可以验证，T1+T2,kT,T1T2都是线性变换，因此L(V,V)是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.2112()()()();TTTT()()();kTTk（1）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2())线性变换的运算特殊的变换：(1)对任意的k∈P，定义数乘变换K(x)=kx，(2)恒等变换：I(x)=x，(3)零变换：O(x)=0(4)逆变换：设A是线性空间V上的线性变换，如果存在V的变换B，使得AB=BA=I，称A可逆，B为A的逆变换.(5)线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AA…A指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn线性变换的矩阵用矩阵表示即为ATTTTnnn),())(),(),((),(212121设1,2,…,n为数域P上线性空间V的一组基，T为V上的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111)()()(其中111212122212,nnnnnnA矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵.12,,,n单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；A的第i列是在基下的坐标，它是唯一的.故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.12,,,n)(iT注：线性变换运算与矩阵运算定理1设为数域P上线性空间V的一组12,,,n的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中nnP①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.L(V,V)与Pnn同构；例2设线性空间的线性变换为求在自然基底下的矩阵.123,,解：3()(0,0,1)(0,0,0)1()(1,0,0)(1,0,1)2()(0,1,0)(0,1,1)123123100(,,)(,,)0101101231212(,,)(,,)xxxxxxx3R()=定理2设T是n维线性空间V的线性变换，和是V的两组基,由到的过渡矩阵是P，T在基与基下的矩阵分别为A和B，则12,,,nn,,,2112,,,nn,,,2112,,,nn,,,21B=P-1AP，（称A与B相似）在两组基下所对应的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示设B=P-1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质123()(5,0,3)()(0,1,6),()(5,1,9)例3在线性空间中，线性变换定义如下：3R123(1,0,2),(0,1,1)(3,1,0)其中（1）求在标准基下的矩阵.123,,（2）求在下的矩阵.123,,解：(1)由已知，有P),,(012110301),,(),,(321321321123123(,,)(,,)A设在标准基下的矩阵为A，即123,,即：为过渡矩阵，又123123505(,,)(,,)011,369012110301P所以(1,2,3)=((1,2,3)P)=(1,2,3)P=(1,2,3)AP因而，963110505AP)24182725420205(719631105051PA1103505011011210369B235101110设在1,2,3下的矩阵为B，则B=P-1AP（2）求在1,2,3下的矩阵.定义1设T是数域P上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素，V中都存在一个非零向量，使得T()=那么称为