第二章连续时间系统的时域分析.

第二章第1讲1第二章连续系统的时域分析系统的数学模型系统方程的算子表示法零输入响应冲激响应卷积积分与零状态响应第2章连续时间系统的时域分析2§1引言系统分析步骤：1、建立数学模型：常系数线性微分方程在微分方程中包含表示有激励和响应的时间函数，以及它们对于时间的各阶导数的线性组合。从电路图得到微分方程由模拟图得到微分方程2、对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应（直接求解微分方程）齐次解＋特解零输入响应＋零状态响应第2章连续时间系统的时域分析3例1：写出图示电路的微分方程。根据KVL有LR+e（t）C根据各元件端电压与电流的关系-i（t）￬整理后代入KVL式，得)()(tRituR例建立数学模型第2章连续时间系统的时域分析4例2：列出电路的微分方程，变量为i2。LL)(teMCCRR1i2i解：微分方程为：33222222232342422)(12)2(2)(dttedMiCdtidCRdtidCLRdtidRLdtidMLdttdedtidMiCdtdiRdtidL)(1222112120121222222dtidMiCdtdiRdtidL例建立数学模型第2章连续时间系统的时域分析5描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型)()()()()()()()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdnnmmmmnnnnn一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：n阶常系数线性微分方程第2章连续时间系统的时域分析6全响应=齐次方程通解+非齐次方程通解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）卷积，杜阿美尔积分时域分析法变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解n阶常系数线性微分方程的求解法经典法积分法第2章连续时间系统的时域分析7时域经典解法全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n阶方程有n个常数，可用个n初始值确定。nitihieCtr1)(i为特征根第2章连续时间系统的时域分析8若特征根为n个单根，则其齐次解式中常数由初始条件确定。不同特征根所对应的齐次解n321，，tniiieCtr1)(iC特征根)(tr齐次解jm＋＝一对共轭复根重实根单实根21)sin()cos(012211tDtCeeCetCetCetCCettttmmtmmt齐次解的一般形式第2章连续时间系统的时域分析9例题用时域经典法求解微分方程描述某线性非时变系统的方程为试求：当时系统的全响应。)()(8)(6)(tftytyty2)0(,1)0(),()(yytetft解：(1)求齐次解，特征方程为：0862ssttheCeCty4221)((2)求特解：设特解为：tpKety)(将上式代入原微分方程，得：tttteKeKeKe8631K比较等式两端系数可得：特征根为：4,221tpety31)(第2章连续时间系统的时域分析10例题用时域经典法求解微分方程tttpheeCeCtytyty21)()()(4221全解的通解为：将初始条件代入上式，得：23142)0(131)0(21'21CCyCCy自由响应强迫响应02161125)(42teeetyttt故，全解为：6112521CC第2章连续时间系统的时域分析11积分法利用卷积法求零状态响应分析思路系统的响应划分为零输入响应和零状态响应。（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合；（2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应—冲激响应；（3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应。零输入响应：是指输入激励为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。根据齐次方程的特征根确定零输入响应的形式；再由初始条件确定其中的待定系数。零状态响应：指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。第2章连续时间系统的时域分析12§2系统方程的算子表示法定义dtdptdp)(1dtdxpxnnndtxdxp则：txdtxp1对于算子方程：xpypp)3()52(2xdtdxydtdydtyd35222其含义是：第2章连续时间系统的时域分析13微分算子的主要特性微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：ypNapapx)()(ypNx)(1但：但在某种情况下公共因子可以消去，如：xxpDpD)(1)()(])([)(1txxpDpD但简单的如：xxpp1但xCxpxp1第2章连续时间系统的时域分析14abxdtdxbadtxdxabpbapxbpap)(])([))((.1222CyxdtdydtdxPPyPx两边积分得＝不能消去其中,.4xPxpxxtxddtdxPxptt＝则若1,0)()()(][1.3xxddtdxpPt1.2算子符号的一般运算规则代数量的运算规则一般对于算子符号是可以应用的，只是在分子分母中或等式两边中相同的算子符号却不能随便消去。第2章连续时间系统的时域分析15转移算子微分方程可用p算子表示为：可写为：)()()()(tepNtrpD)()()(tepHtr)()()()()(pDpNtetrpH转移算子：)()()()()()()()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdnnmmmmnnnnn)()()()(01110111tebpbpbpbtrapapapmmmmnan第2章连续时间系统的时域分析16转移算子H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：)()()()()(pDpNtetrpH)()()(tepHtr)(pH)(te)(tr系统的自然频率(特征根)：0)(pD的根为系统的自然频率或特征根。第2章连续时间系统的时域分析17算子阻抗对电感：dtidLuLLLLiLpuLp——算子阻抗对电容：CtCCipCdtiCu111——算子阻抗Cp1引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。第2章连续时间系统的时域分析18例利用算子阻抗列微分方程列出电路的微分方程，变量为i2。LL)(teMCCRR1i2i解：网孔方程为：)()1(21teiMpiCpLpR0)1(21iCpLpRiMp2222)1()(110)(1pMCpLpRtepMCpLpRMpMpCpLpRMpteCpLpRi2223422312)2(2)()(CpCRpCLRRLppMLtepM故，微分方程为：33222222232342422)(12)2(2)(dttedMiCdtidCRdtidCLRdtidRLdtidML第2章连续时间系统的时域分析19例利用算子阻抗求转移算子求如图所示电路的转移算子：)(tf1i2i0u3F11H1)()()(0tftupH1u解：用节点方程可求得：)(1)131(01tfupup0)11(101uppup)()131(01tpfuup021)1(uppu)()1)(311(002tpfuuppp44313131311)()()(23220pppppppptftupH第2章连续时间系统的时域分析20特征方程的根为特征根，其中i=1，2，•••，n系统的零输入响应全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应的求法设系统为零输入e(t)=0时，即D(p)r(t)=0)()()()()()(tepDpNtepHtr特征方程：D(p)=0i)()()()(tepNtrpD齐次微分方程第2章连续时间系统的时域分析210,)(2121tececectrtnttzin0,)()(1110tetctcctrtkkzi零输入响应的一般形式0)()(trpk2、若有K阶重根，即：i为特征根ic由初始值确定对于n阶系统0)()(0111trapapapnnn1、若无重根：0)()())((21trpppn第2章连续时间系统的时域分析22若知n个初始条件：，有：tnttzinececectr2121)(nnnnnnnnnnncccrcccrcccrcccr1212111)1(2222121''2211'21)0()0()0()0(零输入响应系数的确定)0()0()0()0()1('''nrrrr、、、、对于n阶系统0)()(0111trapapapnnn若无重根：可由此求出n个常数。第2章连续时间系统的时域分析23例：设L＝1H，C＝1F，R＝2Ω，若激励电压源e(t)为零，且电路的初始条件为LR+e（t）C-i（t）￬书上例2－2(1)i(0)=0;i’(0)=1A/s(2)i(0)=0;uc(0)=10V分别求上述两种条件时电路的零输入响应解：(1)直接代入初始条件得：(2)由方程：第2章连续时间系统的时域分析24例：设L＝1H，C＝1F，R＝1Ω，若激励电压源e(t)为零，且电路的初始条件为LR+e（t）C-i（t）￬书上例2－3i(0)=0;i’(0)=1A/s，求电路的零输入响应代入初始条件得：解：第2章连续时间系统的时域分析25例求零输入响应221)(2ppppH已知系统的转移算子，初始条件为2)0(,1)0(rr试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。tjtjzieCeCtr)1(2)1(1)(0)3cos(10)(1ttgtetrtzi)(trt00222ppjp11jp12解：令得：1)0(21CCr2)1()1()0(21CjCjr代入初值得：23211jC23212jC解得：10)()(212232211C31tg故：)cos(2)(1)1(2)1(1teCeCeCtrttjtjzi第2章连续时间系统的时域分析2612)(2ppppH已知系统的转移算子，初始条件为2)0(,1)0(rr,试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。tzietCCtr)()(210)31()(tettrtzi解：令得：0122pp121pp1)0(1Cr2)0(21CCr代入初值得：11C32C解得：)(trt01例求零输入响应第2章连续时间系统的时域分析27§3冲激响应与零状态响应冲激响应:输入信