第二章随机变量与随机过程

第二章随机变量与随机过程第二章随机变量与随机过程2.1随机变量及其分布列，分布函数2.2连续随机变量的概率密度函数2.3正态分布2.4随机变量的数字特征2.5两个随机变量的联合分布2.6随机过程2.1随机变量及其分布列，分布函数随机变量随机：情况多变或事先不能肯定如：取许多钢试样进行试验，它们的拉伸强度不会是一样的，而是在某一个平均值附近波动。像钢的拉伸强度这样的量，它们的值并不能准确预测，称为随机变量。如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取两件中，废品数可能是0、1、2。在取出之前无法预测。取出的废品数称为随机变量随机变量的分类离散随机变量：仅可能在某一数值序列中取得有限个或无限多个离散的数值。例如：一批产品中的次品数；随机振动在一定时间内取得的峰值数等都只能是正整数。连续随机变量:可取某一区间内的任何数值的随机变量。例如：机械零件加工后的尺寸，钢试样的拉伸强度等。离散随机变量的分布列对于离散随机变量，由于其取值是离散的，所以可以将其取某一个值的概率列成一个表，称为随机分布列。例如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取两件中，废品数可能是0、1、2。X的取值X1X2X3……Xn取值的概率P1P2P3……PnP3P2P1取值的概率210X的取值连续随机变量的分布函数连续随机变量的取值可以是某一个区间内的任何数，随机分布列无法描述连续随机变量的分布。连续随机变量Ｘ的分布函数P(x)：连续随机变量Ｘ的值小于或等于x的概率分布函数的性质}{)(xXPxP分布函数的性质1)0()1Px2)()0,()1PP3)Ifabthen()()PaPb非降函数2.2连续随机变量的概率密度函数设P(x)为随机变量X的分布函数，则X落在（x，x＋⊿x）区间的概率为：为分布函数在区间上的增量。当⊿x趋于零时将这一概率与区间长度之比定义为：连续随机变量Ｘ的概率密度函数()()()PxXxxPxxPx即()()limPxXxxpxx()()pxPx幅值出现在x与x＋△x之间的概率为：概率密度函数的性质1)()0px2)2112{}()xxPxXxpxdx3)()1pxdx4)()()xPxpxdx2.3正态分布（自行复习）正态分布（高斯分布）当生产条件固定时，一批产品的某一指标（螺栓直径、灯泡寿命、电阻值等）服从正态分布。在相同条件下，对某量进行测量，测量误差为随机变量服从正态分布。同一生物体的某一尺寸，例如成年人的身高为随机变量，服从正态分布。（车身设计人机工程学）路面不平度也基本服从正态分布。一般来说，如果影响随机变量分布的因素很多，这些因素又彼此独立，且它们中的每一个对随机变量的分布又没有突出的影响，则可认为该随机变量服从正态分布规律。正态分布的概率密度的数学表达式为:随机变量X服从正态分布时可记为2~(,)XN21()21()2xpxe其中μ和σ均为大于零的常数。正态分布概率密度函数随x的变化如下图所示正态分布的概率密度函数正态分布概率密度函数的性质2)最大值当x=μ时，p(x)有最大值1)对称性曲线p(x)-x关于x=μ对称。max1()2px正态分布的概率密度函数21()21()2xpxe3)拐点：曲线p(x)-x有两个拐点，位于改变μ值，曲线p(x)-x沿ox轴平移，但形状不变。xσ固定μ改变时的正态分布σ值越小，图形越尖，如下图所示。μ固定σ改变时的正态分布若μ=0,σ=1则称为标准正态分布，其概率密度函数和分布函数分别为：2221)(xexpxxdxexP2221)(21()21()2xpxe上面这两个函数均有表可查对于一般随机变量不一定满足μ=0,σ=1，则可以先进行变量置换，然后查表。2.4随机变量的数字特征(数学期望与方差)分布函数可以完整地描述随机变量的统计特征，但在实际问题中，求出分布函数比较困难，且有些问题并不需要求出分布函数去全面考察随机变量，而只需要知道随机变量的某些特征。如评定某地区的粮食产量：平均亩产量检查棉花质量：纤维的平均长度纤维长度与平均长度之间的偏差2.4.1数学期望数学期望举例：车间检验员每天随机抽取n个零件，查出的废品数X为随机变量，若检查N天，出现废品为0、1、2……n个的天数为u1，u2…….un;则N天出现废品的算术平均值为：nkknkknNuKNKuNunuuu00210...210KKpNu设为出现k个废品的概率，当N很大时：KpKnKKnKpKNuK00设离散型随机变量X的分布率为：则称其数学期望为：对于连续型随机变量，用p(x)表示随机变量x的概率密度函数，则其数学期望的定义为:dxxxpXEx)(][,.....2,1)(KpxXPKK1)(KKKpxXE2112{}()xxPxXxpxdx数学期望的性质：1)如果c和d是两个常数,X是一个随机变量，则2)如果X和Y是两个独立的随机变量，则[],[][],[][]EccEcXcEXEcXdcEXd[][][],[][][]EXYEXEYEXYEXEY与此类似，如果f(x)=x2，定义x的均方值如下如果f(x)=x，数学期望（均值）如下：dxxpxxEx)(][222dxxxpxEx)(][理解数学期望与平均值期望：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值平均值：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。通俗说：平均值和数学期望都是反映概率中可能性最大的值。在统计学中，当估算一个变量的期望值时，一个经常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。样本的平均值是期望的无偏估计。2.4.2方差与标准差x的方差，记为，定义为x与其均值的差的均方值：2x22222()[()]()()()([])xDxExxxxpxdxExEx[],[][],[][]EccEcXcEXEcXdcEXddxxpxxEx)(][222标准差：方差的正的平方根σx，称为x的标准差如果E[X]=0对于离散随机变量：其方差：对于连续随机变量：其方差：iiipxXEXD122][][dxxpxXEXD)(][][22即：当数学期望E[X]=0时，方差就等于均方值。方差的性质：1)如果X和Y是两个随机变量，则如果c和d是两个常数,X是一个随机变量，则：2)2[]0,[][],()()DcDcXcDXDcXDX22()()(),[][]([])DXYDXDYDXEXEX22222()[()]()()()([])xDxExxxxpxdxExEx根据方差的定义2.4.3正态分布随机变量的数字特征设x服从下列正态分布：其数学期望和方差分别为μ和σ221()21()2xpxe正态分布随机变量的三个重要数据{}0.6828PX{22}0.9544PX{33}0.9974PX3σ规则的含义2.5两个随机变量的联合分布2.5.1二维随机变量的联合分布函数即第一个随机变量X不大于x并且第二个随机变量Y不大于y的概率。二个随机变量X与Y的联合分布函数的定义为(,)(,)PxyPXxYy图联合分布函数取值示意图(1)2121(,)(,)PxyPxyforxx2121(,)(,)PxyPxyforyy联合分布函数的性质:图联合分布函数取值示意图0),(),(),(PyPxP（2）1),(P（3）（4）1),(0yxP（5）),(),(),(),(},{111221222121yxPyxPyxPyxPyYyxXxP随机变量X，Y落在区域R内的概率2.5.2二维随机变量的概率密度二个随机变量X和Y的联合分布概率密度函数的定义为(,)dd(d,d)pxyxyPxXxxyYyy即2(,)(,)Pxypxyxy两变量联合分布概率密度函数的性质根据二变量联合分布概率密度函数的定义，第一个随机变量X落在x1与x2之间且Y落在y1与y2之间的概率为(1)(,)0pxy(2)(,)(,)1pxydxdyP22111212{,}(,)xyxyPxXxyYypxydxdy2.6随机过程事物的变化过程没有确定的变化形式，没有必然的变化规律，不能用确定的函数加以描述，但具有一定的统计规律性，该变化过程称为随机过程。随机过程的每一次实验结果称为这一过程的一个现实，称为一个样本函数或子样函数。如果进行n次实验，这n个可能的结果构成随机过程的样本空间。不同实验驾驶员座椅处的加速度变化曲线如任意确定时间t1,每一条曲线在t1处的函数值为x(t1)，则x(t1)是一个随机变量，它的样本点：(1)(2)()111(),(),()nxtxtxt该随机变量为对应于给定时间t1的随机过程的截口或状态。一个随机过程是由无穷多个随机变量构成的随机变量系。故可以用描述随机变量系的办法描述随机过程。象随机变量一样，引入描述随机过程的数字特征。2.6.1随机过程的数字特征数学期望：设X(t)是一随机过程，固定t1，则X(t1)是一随机变量。其数学期望：E[X(t)]是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t的函数值的平均，称这种平均为集平均（以区别于时间平均）。与随机变量的均值E[X]不同，E[X(t)]是时间的函数。1111111[()][()](,)XtEXtxpxtdxdxxxpXEx)(][方差表示X(t)在时刻t随机变量对于均值的偏离程度，如果均值等于零。则：相关函数均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻统计特征的重要数字特征。但无法描述两个不同时刻状态之间的联系。自相关函数用以描述随机过程本身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系。})]()({[)]([)(22ttXEtXDtxx)]([)]([)(22tXEtXDtx212121212121);()]()([)(dxdxttxxpxxtXtXEttRxx2.6.2平稳随机过程平稳随机过程的概率分布相对于任意一个时间移位都保持不变，即当前时刻的概率密度函数在其他时刻仍适用。所以概率密度函数p(x1)变成了一个统一的表达式p(x)，而与时间无关。平稳随机过程的数学期望对任意时刻都可以写成121[()][()][()]ExtExtExtt自相关函数也与绝对时间t无关，而是与时间移位τ有关1212(,)[][()()]()RttExxExtxtR2.6.3各态历经过程随机过程的均值、方差、相关函数的计算需要用到大量的样本函数，十分复杂，甚至不现实。由平稳随机过程的统计特征与时间的原点选取无关这一特征考虑，用随机过程的一个样本函数，当其记录时间足够长时，代替整个随机过程。各态历经过程：若每个样本函数按“时间平均”的数字特征均相等，且等于任一“截口”处的“集合平均”，这样的平稳过程称为各态历经过程，简称遍历过程。如果x(i)(t)代表一个典型的样本函数，持续时间为T，那么可以沿时间积分取其平均。这样的平均称为瞬时平均，若将其记为x(t)，则2()21[]()lim()TiTExxtxtdtT式中约定x(i)(t)定义在t=-T/2到t=T/2区间上。当T趋于无穷时，类似地有222()221[]()lim[()]TiTExxtxtdtT2()()21()()()lim()()TiiTRxtxtxtxtdtT