第二节一阶线性微分方程.

一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第二节一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0F(x,y,y)yf(x,y)一、可分离变量的微分方程形如()()dyfxgydx(1)的方程称为可分离变量的微分方程，其中f(x)和g(y)都是连续函数．例:22dyxydx232cosdyxdxyy0g(y)当时,()()dyfxdxgy这叫做分离变量。()()dyfxdxgy1(),(),()()HyFxfxgy设分别是的原函数,则()()HyFxC就是原方程的通解．上式两边积分，得到()()dyfxgydx微分方程的解可以用隐函数的形式表示若存在y0，使g(y0)=0，一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解中。应注意补上这些可能丢失的解．这时常数函数y=y0也是方程(1)的解．例122dyxydx求微分方程的解.解当y≠0时，方程可改写为212dyxdxy两边积分，21xcy所以原方程的通解为21yxc（c为任意常数）此外，y=0也是该方程的解．注：解y=0没有包含在通解中。dyxdxy212得到例2()0dyPxydx求微分方程的通解.()Px其中为连续函数.解当y≠0时，方程可改写为()dyPxdxy两边积分，ln()yPxdxc或()Pxdxcyee,cce令则()(0)Pxdxycec得到dyPxdxy()此外y=0也是方程的解．()Pxdxyce其中c为任意常数.(2)若允许c=0，则此解也含于上式中．()(0)Pxdxycec所以方程的通解为例321sinyxyy求微分方程满足2xy2初值条件=的特解.2解210y当时,方程可以改写成为2sin1ydyxdxy2sin,1ydyxdxy两边积分21cos,yxc由初值条件得221()cos22c22,c得所以方程满足所给初值条件的特解为:21cos220.yx得方程的通解为ydyxdxy2sin,1例４(1)dpppdt解(1)0pp当时,方程可以改写成为2sin1ydyxdxy,(1)dpdtpp得方程的通解为1ln,1ptcp得11cttpeecep所以方程的通解为:1.11tttcepcece求解Logistic方程两边积分dpdtpp,(1)二、齐次微分方程形如(3)()dyydxx的微分方程称为齐次微分方程．例如:2(),dyyydxxx2332dyxyydxxxy22()0.ydxxxydy23()()()1yyyxxyxx,yux令,yux或,dyduxudxdx则代入(),duxuudx分离变量11,()dudxuux两边积分，得11()dudxuux,yux求出积分后再用代替求解方法：()dyydxx便得通解。(),duxuudx例522.dydyyxxydxdx解微分方程解原方程可以改写成222()1ydyyxydxxyxx,yux令,dyduxudxdx则原方程变为21duuuxdxu当u≠0时分离变量得1(1)dxduux211duuuxudxuu得ln||ln||uucx即ln||uxuc,yux用代替便得原方程的通解为ln||yycx1(1)dxduuxdxduux1(1)两边积分当u＝0时，y=0也是方程的解。2duxuuudx0u时可化为11dudxxu２(4)两边积分，得lnuxc代回原变量得原方程的通解为lnyxcx此外u=0时，y=0(x≠0)也原方程的解.例52.dyyydxxx解微分方程解,yux令代入原方程得三、一阶线性微分方程形如()()dyPxyQxdx的方程称为一阶线性微分方程，()0,Qx当时称它为一阶齐次线性微分方程，否则，称它为一阶非齐次线性微分方程．(5)的求解法：常数变易法(5)()0Qx将(5)中的换为得到()0dyPxydx(6)称它为非齐次微分方程(5)对应的齐次线性微分方程．例2已求得方程(6)的通解为()Pxdxyce(7)显然，如果（7）中的c恒保持为常数，则它一定不是（6）的解。()()Pxdxycxe(8)的通解，它的导数为为此，我们将c换成x的未知函数c(x)，设想方程（5）有形如()()()()()PxdxPxxdycxecxPxedx()()()()()PxdxPxxdycxecxPxedx(9)将(8),(9)代入方程（5）()()()PxdxcxQxe得()()dyPxyQxdx()()Pxdxycxe(8)()dyPxydx()()()()()PxdxPxxcxecxPxe()()()PxdxPxcxe()()Pxdxcxe得()Qx()()()PxdxcxQxe两边积分，得()()()pxdxcxQxedxc将它代回到(8)式()()()PxdxPxdxyeQxedxc(10)得()()Pxdxycxe即得方程(5)的通解为上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中的任意常数c换成未知函数c(x)求非齐次线性微分方程通解的方法，称为常数变易法．22(1)1xdyyexdxx求微分方程的通解.例6解两边积分ln2ln(1)lnyxC201dyydxx对应的齐次线性微分方程为21dydxyx分离变量21dydxyx2ln(1)Cx得齐次线性微分方程的通解为2(1)yCx设非齐次线性微分方程的通解为2()(1)yCxx22(1)1xdyyexdxx求微分方程的通解.例6设非齐次线性微分方程的通解为2()(1)yCxx2()(1)2()(1)dyCxxCxxdx代入原非齐次线性微分方程21dyydxx2()(1)Cxx2()(1)2()(1)CxxCxx22()(1)1Cxxx2(1)xex22(1)1xdyyexdxx求微分方程的通解.例6设非齐次线性微分方程的通解为2()(1)yCxx2()(1)Cxx2(1)xex()xCxe()xxCxedxeC于是非齐次线性微分方程的通解为2(1)xyeCx22(1)1xdyyexdxx求微分方程的通解.例6也可以直接利用通解公式（10）求解2();1Pxx这里2()(1).xQxex根据公式(10)()()(())PxdxPxdxyeQxedxc22211((1))dxdxxxxyeexedxc2ln(1)22ln(1)=((1))xxxeexedxc所以原方程的通解为2(1)().xyxec2ln(1)22ln(1)=((1))xxxeexedxc2=(1)()xxedxc2=(1)()xxec3dyydxxy求微分方程的通解.例7解根据公式(10)()()(())PxdxPxdxyeQxedxc112()dydyyyxeyedyc这不是线性微分方程。将方程变形为32dxxyxydyyy=则它是一个一阶线性微分方程。21(),()PyQyyy所以原方程的通解为31.2xycyln2ln=()yyeyedyc=()yydyc21=()2yyc112()dydyyyxeyedyc贝努利(Bernoulli).形如()()(0,1)ndyPxyQxyndx(11)的方程称为贝努利方程.0,nyy当时,方程的两边同乘以得1()()nndyyPxyQxdx(12)1,nuy令(1),ndudynydxdx则有于是原方程变为(1)()(1)()dunPxunQxdx这是关于新未知量的一阶非齐次线性微分方程．此外，当时n0时，y=0也是方程(11)的解.例7解方程3dyxyxydx解3,y方程的两边同乘以得32dyyxyxdx2,uy令32,dudyydxdx则有于是原方程变为22duxuxdx将()2,()2PxxQxx代入公式(10)得22(2)xdxxdxuexedxc所以原方程的通解为22(1)1.xyce此外,y=0也原方程的一个解．22=(2)xxexedxc22=(+)xxeec2=1xce