第二节命题及其关系充分条件与必要条件(经典讲义)

1第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？21．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．34．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3考点一四种命题的关系[例1](1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数3D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题考点二命题的真假判断[例2](1)下列命题是真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④4给出下列命题：①函数y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函数；②已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，则数列{an}一定是等比数列；③若函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(x)是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．高频考点考点三充要条件1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3](1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2012·四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．5充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(2014·西安模拟)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知p：1x－11，q：x2＋(a－1)x－a0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1]B．[－2，－1]C．[－3,1]D．[－2，＋∞)3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．[典例1]设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的6方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2]若A：log2a1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3]已知条件p：4x－1≤－1，条件q：x2－xa2－a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是________．[全盘巩固]1．“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”，其否命题是()A．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根B．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0有实根C．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根D．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根2．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．(2014·黄冈模拟)与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是()A．若a，b，c成等比数列，则b2≠acB．若a，b，c不成等比数列，则b2≠acC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列4．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()7A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是()A．若x＞0且x≠1，则lnx＋1lnx≥2B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题6．已知p：2x－1≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D．(－∞，0)∪12，＋∞7．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.8．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞12”的充分不必要条件；④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．9．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．11．已知集合A＝yy＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x8∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．12．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．[冲击名校]1．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA[高频滚动]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|2x＞8}，那么集合(∁UA)∩B＝()A．{x|3＜x＜4}B．{x|x＞4}C．{x|3＜x≤4}D．{x|3≤x≤4}2．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝m＋n2；当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝mn.设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．