第二讲二次函数中有关三角形存在性问题

学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第1页共12页+第二讲二次函数中有关三角形存在性问题一、课题说明：二、知识梳理：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等。1.基本步骤：（1）分类讨论（2）尺规作图（3）计算2.常用公式：（1）如果A(x1,y1)B(x2,y2),那么则它们的中点P的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）;(2)直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系:两直线平行21kk且21bb两直线垂直121kkpo三、典例精讲：1.等腰三角形问题教学目标1、使学生掌握二次函数中特殊三角形存在性问题的解题思路及解题方法；2提高学生的综合分析与解决问题的能力。教学重点二次函数图像在等腰三角形、直角三角形、相似三角形存在性问题中的综合应用。教学难点让学生学会归纳并熟练掌握类型题的作图方法与解答技巧。教学方法分类讨论法、尺规作图、归纳法。常见考法此类型通常会出现在陕西省中考数学第24题，分值为10分；其他省市中考题与也均以解答题形式出现。选材程度及数量课堂精讲例题课堂训练题课后作业A类12B类112C类211学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第2页共12页例1.【A类】（2015师大4模）uprt如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为(1,29)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；【教法参考】（1）.分类讨论：分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：本题第二问：在抛物线上找一点p，使得PDC、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况：（1）当C为顶角时，CPCD（2）当D为顶角时，DPDC（3）当P为顶角时，PDPC(2).尺规作图：两圆一线（①当C为顶角时，以C为圆心CD为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P，②当D为顶角时，以D为圆心DC为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P，③当P为顶角时，线段DC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。）(3)计算：)817,1(),8,1(),17,1(),17,1(4321pppp学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第3页共12页2.直角三角形问题例2.【B类】（2009眉山）如图，已知直线112yx与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。【教法参考】（1）.分类讨论：分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如本题第二问：动点P在x轴上移动，使得PEA、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况:（1）当A为直角时，APAE（2）当E为直角时，EPEA（3）当P为直角时，PEPA(2).尺规作图：两线一圆(①A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，②E为直角顶点时，作法同①，③P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，)学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第4页共12页(3)计算：满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；3.相似三角形问题例3.【C类】（2015西工大3模）如图，抛物线经过A(4，0)、B(1，0)、C（O，-2）三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。【教法参考】：寻找比例关系以及特殊角：按对应角不同分类讨论，通过相似三角形转化相似比得出方程，即：∵∠COA=∠PMA=90°，∴①②代入数值求解即可。【解析】利用两点式求得：225212xxy；设出点P坐标，分两种情况计算，进行取舍，解得符合题意的P（2,1）。4.等腰直角三角形问题学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第5页共12页例4.【C类】（2015交大4模）如图，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线y=ax2+ax-2经过点B。（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。[教法参考]：先把△ACP当作以AC为直角边的直角三角形来作，即A为直角和C为直角，求出符合题意得点P坐标，再验证PA与PC是否等于AC，如果等于，则点P为所求点，反之舍去。【解析】即可求得点P1（1，-1）；P2（2，1）四．课堂练习：1.【A类】如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第6页共12页Oxy1-1BA【简析】直接带点，求得：452xxy；当PA=AB时；以及当PB=AB时，求得：)4,0(),417,0(21PP2.【A类】（2015高新一中第3次模拟考试）二次函数)0(,22abaxaxy与x轴交于A，B两点，其中B（-1,0），交y轴于点C，顶点为D点。（1）直接写出对称轴，以及A点坐标；（2）若090ACD，求此时二次函数解析式；3.【B类】（2014交大2模）如图,抛物线cbxaxy2(a﹤0)与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C，设抛物线顶点为D。（1）.求顶点D的坐标（用含a代数式表示）（2）.若∠ACD＝90，学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第7页共12页该抛物线的表达式；将此抛物线沿x轴平移，平移后的抛物线与抛物线交与点P，过点P向x轴作垂线，垂足为Q。试探究在x轴上方是否存在这样的点P，使得以P,Q,A,为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请求出平移后的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。【简析】（1）D（-1，-4a）；（2）①y=-x2-2x+3；②设P（m,-m2-2m+3),当△PAQ∽△DAC时，P1(911,32)；当△PAQ∽△△ADC时，P2(-2,3).抛物线解析式为4)37(2xy或4)3(2xy.4.【C类】（2013陕西中考真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．（1）写出这个二次函数的对称轴；（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第8页共12页[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为)0,(),0,(21xBxAA，那么它的表达式可表示为：))((21xxxxay]五．课后小结：解答此类型题基本步骤为：（1）分类讨论（2）尺规作图（3）计算1.等腰三角形：首先要分类讨论，分别以已知边为底边为腰去思考，利用圆和中垂线来寻找点，再借助勾股定理或者函数等知识进行点坐标的求解；2.直角三角形，先分类讨论以后借助画圆和垂线进行点的个数确认，再利用“K”型图相似知识进行求解；3.相似三角形，一般情况下考题都会固定一个角，也就是说有两种情况进行讨论并求解。六．课后作业：1.【B类】（2014铁一中2模）如图，已知二次函数32bxaxy的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A(49，0），且△AOB∽△BOC.（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数32bxaxy的关系式；（2）在线段AC上是否存在点M（m，0）．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P（第24题图）y-1Ox2-11123-23学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第9页共12页点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【简析】(1)3127312xxy;(2)①当CP=CO时，m=1,当PC=PO时，m=87,当OC=OP时，点M不在线段AC上；所以综上所述：m的值为87或1。2.【B类】（2014铁一中3模）如图，已知抛物线y=cbxax2经过A（-2，-2），B（3，3），C（0，6）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求抛物线对称轴上是否存在点P，使△APC与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（3）抛物线对称轴上是否存在点Q，使∠AQC=900？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由。学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第10页共12页【简析】（1）62y2xx(2)P1(1，25)P2(1，-5)（3）存在，作CD垂直DQ,AE垂直DQ,则∆CDQ相似于∆QEA381,xxAEDQEQCD，则8x-x²=3,∴Q1(1,2-13)Q2(1,2+133.【C类】（2015西工大月考试题）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．学习札记让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第11页共12页【简析】利用两点式解得：)4,1(,322Dxxy；利用勾股定理逆定理进行证明；分类讨论，画出草图求解)0,0(),0,9(),31,0(321PPP。4.【B类】（2014交大5模）已经二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴交于A（-5,0）、B（1,0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。（1）写出点D的坐标（用含a的代表式表示）；（2）若S△ABC=15，试求a的值；（3）以A、D、C三点为顶点的三角形能否形成直角三角形，若能形成直角三角形，试确定二次函数的表达式；若不能，说明理由。学习札记伊顿·让每个学生更优秀！MOREFOCUS.MOREEXCELLENT!第12页共12页【简析】（1）aD9,2(2)a=1(3)665632662xxy或22522222xxy七．教后反思：