计算流体力学讲义2011第二讲双曲型方程组及间断解李新亮lixl@imech.ac.cn;力学所主楼219;82543801知识点:双曲型方程的特征方程双曲型方程的弱解及熵条件Riemann间断解——精确解、近似解初步1讲义、课件上传至(流体中文网)-“流体论坛”-“CFD基础理论”CopyrightbyLiXinliang2知识回顾1.流体力学基本方程概念:连续介质假设;Euler描述/Lagrange描述N-S方程——描述质量、动量、能量守恒的方程组流通量:单位时间内通过垂直于x/y/z轴单位面积的质量、动量、能量zGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(无量纲量:物理量与参考量(特征量)之比2.偏微分方程(组)及其类型0txUUAΛSSA10xtVΛVSUV0xvtvjjj解耦成N个独立的方程双曲型有N个实特征根(含重根)N个独立特征向量全部为复特征根有1个N重特征根独立特征变量数N抛物型椭圆型特征线;特征相容关系;双曲方程边界条件提法0xvtvjjj方法:独立给定j个方程的边界条件如果j0,则在左端给定vj的边界条件如果j0,则在右端给定vj的边界条件ABj=1j=20xtUAUCopyrightbyLiXinliang3一维Euler方程cucuu321,,条件描述边界条件设定超音速入口给定3个边界条件亚音速入口给定2个边界条件超音速出口无需给定边界条件亚音速出口给定1个边界条件cuandu0cuandu0cuandu0cuandu03Tmuuuxt),......,(0)(21UUUAU变系数方程组的情况ΛSSA1令:0xtUΛSSU10xtUΛSUS...1msSs令(行向量)()0kktxUUs在x-t空间引入特征线:()xxt0kddtUs1.双曲型方程组的特征方程CopyrightbyLiXinliang4(变系数情况)虽然不能解耦,但能转换成常微方程组2.1双曲型方程组/kdxdtxt特征线()xxt/kdxdtkdtxdtUUU沿特征线CopyrightbyLiXinliang5若不考虑粘性,流体微团运动过程中熵不变;如果来流熵均匀分布,则全流场熵均匀分布例:一维等(均)熵运动预备知识:完全气体中的热力学量,,,,,,pTshUc密度、压力、温度、熵、焓内能、声速只有两个独立变量(完全气体)仅与温度有关211/2(1)/21/2(3)/2//()/()spconstcpRTscscs小常识:等熵(绝热)关系与等温相比,绝热气体更难压缩vUCTcRT等熵情况下,仅有一个独立的热力学变量;给定任何一个都意味着给定全部热力学量;1/2(3)/211/()/22dcdsc0UUAtxuU2/uAcucu2,1矩阵A的特征值ccS若不考虑粘性,流体微团运动过程中熵不变;如果来流熵均匀分布,则全流场熵均匀分布均熵运动情况下,能量方程可用熵为常数替代20()0utxuuptx0uutxx2spc2/0uucutxx一维均熵流动控制方程(Euler方程简化版)11200ASS1122[][]0[][]0uuctxtxuuctxtx10UUSStx0UUSStx0(3)ducddtdtcudtdx/沿特征线1:有:201dRdudcdducddtdtddtdtdt沿特征线1:R不变1ddttx(1)转化为xt特征线1/dxdt积分因子定义:21cRu注意:声速c是温度的函数,可不是常数!c2~T(c2就是温度啊!)211/2(1)/21/2(3)/2//()11/()/22spconstcpRTscsdcdsc绝热关系式()xxt1122[][]0(1)[][]0(2)uuctxtxuuctxtxcu2,1constcuR12特征相容关系constcuS128知识点,牢记!一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变xt特征线1cudtdx/特征线2cudtdx/constcuR12同理推导,沿特征线2:cudtdx/constcuS12constcuR12在(x,t)空间:沿特征线1:cudtdx/沿特征线2:cudtdx/constcuS12ABC扰动源扰动向两侧传播扰动波以当地声速向两侧传播ucuc观测者感受到两侧的扰动例2.1:有限振幅波的传播问题othersconstxxxxxuuba)(,0)(),(,0考虑一维无粘流动(Euler方程),初始时刻(t=0)流动状态如下:试分析t=t0时刻的流动状态(假设流场不出现间断)xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01DEulerwithinitialdisturbanceu=0.01sin(x)不同时刻的速度分布(A=1)不同时刻的速度分布(A=0.01))sin(005.0)sin(005.0),(ctxctxtxu思考题:小扰动的传播情况?1)0,(;1)0,(020sin)0,(xpxothersxxAxu数值解xt(1)(2)(3)(4)利用特征线,分析不同区域的差异等(均)熵情况下,同族特征线不会相交CopyrightbyLiXinliang9目的:学会如何运用Riemann不变量解题CopyrightbyLiXinliang10xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01DEulerwithinitialdisturbanceu=0.01sin(x)1)0,(;1)0,(020sin)0,(xpxothersxxAxu一维扰动波的传播(上:A=1;下:A=0.01)大扰动,非线性波小扰动,线性波基本解题思路:利用特征关系123cudtdx/cudtdx/xt))(())((232223131113ttcuxxttcuxx解出x1,x2利用Riemann不变量得:2233113312121212cucucucu解出33,cuxt(1)(2)(3)(4)区域(2),(4)未扰动区域(1)内的流动使用基本方法计算区域(3)内的计算可简化ABDCEFG(3)区内的波传播速度为常数,且在传播过程中物理量保持不变——简单波特征线为直线)(),()(),(22112211xccxccxuuxuu注意:因而方程是非线性的给定x3,t3利用CopyrightbyLiXinliang11(假设t3充分小)解出t3时刻的流场,继续推进下个时刻概念:简单波区域(3)内扰动波的传播特点考虑(3)区内的,同属一条特征线M上的任意两个点4和5:由于点1和点3均在未扰动区:xt(1)(2)(3)(4)12345M5454ccuu在(3)区内,所有物理量(u,c)沿特征线M不变特征保持直线,特征波传播速度不变简单波CopyrightbyLiXinliang1212cuR12cuS542SSS5341,RRRR31RR5454SSRRCopyrightbyLiXinliang13各区物理含义xt(1)(2)(3)(4)x扰动区t=0时刻t=t1时刻右行波左行波区域(1),感受到左、右波的影响区域(3),仅感受到左行波的影响简单波区域(2),尚未感受到波xt=t2时刻区域(4),波已传播过去,恢复平静波型、波速不变3.双曲型方程的间断解双曲方程的特点:扰动波传播速度有限可能产生间断弱间断:函数连续,但导数间断(如稀疏波的波头、波尾)强间断:函数本身间断(如激波、接触间断)流体力学控制方程:积分型(假设函数连续、光滑)微分型间断处虽然无法满足微分型方程,但积分型方程(三大守恒律)仍然满足例:激波两侧关系原则:连续区需满足微分方程间断两侧必须满足积分方程CopyrightbyLiXinliang14z111,,pu222,,pu22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZu4.双曲型方程的弱解及熵条件1)弱解0,,0)(txxuftu)()0,(xxu若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程(1);且在间断线满足:(1)dtduuffCopyrightbyLiXinliang15()xt()xt则称u(x,t)是方程(1)的弱解xt(,)uuxtuu“间断处满足积分方程”()0Vufudxdttx任意控制体Green公式充分小的积分路线两侧均视为常值DDffxduutdtxt()xtt,uf,uf(1)0udfutdux间断传播的速度ddfffdtduuu快速记忆法:0)()()(tffuudtufudxD0)(DdtufudxCopyrightbyLiXinliang16弱解不是唯一的例:0,,0)(txxuftu22uf0,10,1)0,(xxxu弱解:0,10,1),(xxtxuxttxttxtxtxu,1,,1),(xttxxttxtxu,10,20,2,1),(dtduuffxt时刻的分布:全部都满足11ffduudt002ffduudt0???0ffuuxxt物理模型三个全都是弱解dtduufuuufufuuff1)()()()()(lim000000022uf0,,0)(txxuftu初始条件:0,10,1)0,(xxxuxttxttxtxtxu,1,,1),(物理解:概念:双曲型方程(1)的“物理解”)0()(22xuxuftu0当:时收敛到的解CopyrightbyLiXinliang172)熵条件定理:若u(x,t)是(1)的弱解,且在间断处满足:wuwfufuuufufwuwfuf)()()()()(