第二讲可靠性数学基础

第二讲可靠性数学基础概率论是可靠性技术的理论基础，数理统计是可靠性技术的主要方法。一、概率需要用到的基本概念：随机试验、随机事件、样本空间、必然事件与不可能事件、事件间的相互关系、事件的频率、概率的计算、概率的性质、概率的分布等。总体（母体）是研究对象的全体。总体可以是尺寸、寿命、时间和强度等。总体可以分为有限总体和无限总体。个体是组成总体的每个基本单元抽样和样本总体与个体抽样是随机的抽取和组成样本的过程。样本是取自总体的部分个体的集合。样本所包含的个体数目，称为样本容量。第二讲可靠性数学基础常用的概率分布分布类型可靠性工程中的应用（0-1）分布描述具有两种结果的随机试验二项分布部分冗余时，计算系统成功的概率Poisson分布产品在某段时间内受到外界“冲击”的次数几何分布和二项分布描述试验中失败次数的分布超几何分布适用于较小规模的抽样问题离散型随机变量的分布类型及其应用连续型随机变量的常用分布指数分布正态分布对数正态分布威布尔分布截尾正态分布极值分布第二讲可靠性数学基础二、数理统计系统中的失效一般用随机变量来描述，但要了解一个随机变量，必须知道它的概率分布，特别是其数学特征；要知道它的概率分布或数学特征，通常用随机抽样的方法，根据样本的性质，对总体进行推断认识，这就用到数理统计的方法。涉及的基本方法：参数估计、假设检验、回归分析第二讲可靠性数学基础三、失效密度函数及累积失效分布函数1、失效频率直方图如果在一批产品中抽取n个产品进行寿命试验，设测得的各试验品的失效时间（即寿命）为t1,t2…tn,则可按以下方法处理：1）分组按一定时间间隔△t(△t称为组距）把失效时间分成若干范围，从而把n个失效时间分成若干组。适当分组数k可由以下经验公式确定：K=1+3.3lgn(2-1)第二讲可靠性数学基础2)列表表示各组失效时间的范围以及各组的t2i,△mi,fi*,Fi,fi的数值。其中t2i为第i组的失效时间范围的中值。△mi为第i组的频数，即第i组中的失效数据的个数。fi*为第i组的失效频率，即第i组的频数△mi与失效数据总数n之比值（2-2）nmfi*第二讲可靠性数学基础Fi为第i组的累积失效频率，即从第1组到第i组的失效频率的和。（2-3）fi为第i组的失效频率fi*与组距△t的比值，即（2-4）3）作失效频率直方图，以失效时间t为横坐标，以fi为纵坐标，以矩形的形式做成的直方图称为失效频率直方图。ijjnm1i1jji*fFtffii*第二讲可靠性数学基础2、失效密度函数如果将组距△t取得小些，实验数据多些，直方图中各矩形顶部的轮廓线将趋于一条光滑的曲线，即失效密度曲线。数学表达式f(t)称为失效密度曲线。失效密度曲线的一个重要性质：（2-5）随机失效时间变量在任一点t附近的小区间[t,t+△t]内取值的概率P(tt+△t)等于（△m为落在区间[t,t+△t]内的失效数据数），即01)(dttfnm第二讲可靠性数学基础P(tt+△t)=（2-6）由此可得（2-7）当△t→0时，可得（2-8）f(t)表示失效时间变量在t附近取值的概率大小，称为失效密度函数。mn()Ptttmtnt00()limlim()ttPtttmfttnt第二讲可靠性数学基础失效时间变量在区间[a,b]内取值的概率:(2-9)3、累积失效频率直方图及累积失效分布函数以失效时间t为横坐标，以累积失效频率Fi为纵坐标，作直方图，即可得到累积失效频率直方图。Fit()()baPabftdt第二讲可靠性数学基础同样，如试验数据很多，组距△t取得越来越小，累积失效频率直方图趋于光滑的曲线，此曲线称为累积失效分布曲线。数学表达式F(t)称为累积失效分布函数。四、可靠性特征量可靠度、累积失效概率、失效率、平均寿命、寿命标准离差、可靠寿命及中位寿命。第二讲可靠性数学基础1、可靠度用概率表示可靠性函数，是指产品寿命这个随机变量不小于规定时间t的概率，即：R(t)=(2-10)如何计算？取n个产品进行试验，若规定的时间t内共有m(t)个产品失效，则该产品的可靠度近似等于：（2-11）P(t)(t0)1(t0)ntmntR)()(第二讲可靠性数学基础由式可知：当t=0时，m(t)=0，R(t)=1；当t逐渐增大时，m(t)也逐渐增大，R(t)随之逐渐减小；当t趋近于无穷大，m(t)=n,R(t)=0。所以,R(t)是t的非增函数，其取值范围为0～1，即0≤R(t)≤12、累积失效概率累积失效概率是指产品在规定的条件下及规定的时间内丧失规定功能的概率。规定的时间越长，则产品越容易丧失规定的功能。所以，累积失效概率是时间t的函数，有时称为“不可靠度函数”，用F(t)表示。是指产品寿命这个随机变量小于规定时间t的概率。即第二讲可靠性数学基础F(t)=(2-12)同样，如有n个产品进行寿命试验，试验到t瞬间的失效数为m(t),则当n足够大时，产品在t瞬间的累积失效概率近似等于（2-13）由于m(t)随时间t的增大而增大，所以，累积失效概率亦随时间t的增大而增大，因此，累积失效概率F(t)是时间t的非减函数。P(t)(t0)0(t0)ntmtF)()(第二讲可靠性数学基础3、失效率在任一瞬间t时的失效率是指产品工作到t时刻后的单位时间内发生失效的概率。与时间t有关，一般称为失效率函数，用（t)来表示。n个产品从t=0开始工作，到t瞬间的失效数为m(t),而工作到t+△t瞬间的失效数为m(t+△t),则失效率（t)为：（2-14）失效率等于在t瞬间后的单位时间内的失效产品数和t瞬间还正常工作的产品数之比值。失效率的单位常用h-1或10-5h-1(%/103h),有时，用10-9h-1作为失效率的单位。10-9h-1称“菲特”（Fit)是FailureUnit缩写。ttmntmttmt)]([)()()(第二讲可靠性数学基础五、失效密度函数f(t),累积失效分布函数以及可靠性特征量间的相互关系1、累积失效概率与累积失效分布函数间的关系在累积失效频率直方图上取第i个矩形右端的时刻为t，则累积失效分布函数F(t)可用下式表示：（2-15）可以看出，累积失效分布函数与累积失效概率是同一个函数，均以F(t)表示。ntmtF)()(第二讲可靠性数学基础2、累积失效概率F(t)与可靠度函数R(t)间的关系现把产品在规定的时间内完成规定功能看作是一个事件，把产品在规定时间内丧失规定的功能看作另一个事件，则此两个事件是对立事件。两个相互对立的事件发生的概率之和应等于1。所以有：F(t)=1-R(t)(2-16)3、累积失效分布函数F(t)、可靠度函数R(t)与失效密度函数f(t)间的关系已知累积失效频率为：（2-17）tffFijijjji11*第二讲可靠性数学基础因而，累积失效分布函数与失效密度函数间有如下关系：（2-18）或（2-19）由式（2-16）可得，可靠度函数与失效密度函数间的关系如下：（2-20）tdttftF0)()()()()('tFdttdFtftttdttfdttfdttfdttftFtR)()()()(1)(1)(000第二讲可靠性数学基础或（2-21）三者之间可用图表示。4、可靠度函数R(t)与失效率函数（t)间的关系（2-22）或（2-23）)()()](1[)('tRdttdRdttRdtf)()()(tRtft)()()('tRtRt第二讲可靠性数学基础由此还可得：将上式两边积分得：（t)与R(t)间的关系的另一表达式（2-24）dttRdt)]([ln)（)(ln)]0(ln)([ln)]([ln)(00tRRtRdtdttRddtttttdttetR0)()(第二讲可靠性数学基础这样，如果已知可靠度函数R(t),则由式（2-23）可求得失效率函数（t)，反之，如果已知失效率函数（t)，则由式（2-24）求得可靠度函数R(t)。5、累积失效分布函数F(t)、失效密度函数f(t)与失效率函数（t)间的关系由式（2-16）及（2-24）可得F(t)与（t)间关系如下：（2-25）对两边求导，得f(t)与（t)间的关系为：（2-26）dtetFtt0)(1)(tdttettf0)()()(第二讲可靠性数学基础所以，如果已知失效率函数（t)，则可由（2-25）及式（2-26）求得累积失效分布函数F(t)及失效密度函数f(t)。